Progression arithmétique généralisée

En mathématiques, une  progression arithmétique généralisée ou ensemble linéaire est un ensemble d'entiers ou de n-uplets d'entiers construit comme une suite arithmétique, avec des raisons variables appartenant à un sous ensemble fini de ℕ.

$a+mb+nc+\ldots$

$a,b,c,\ldots \in \mathbb {N}$

$m,n,\ldots \in [0,M]\subset \mathbb {N}$.

Le nombre des raisons possibles est appelé la dimension de la progression arithmétique généralisée.

Plus généralement,

$L(C;P)$

est l'ensemble de tous les éléments $x$ de $\mathbb {N} ^{n}$ de la forme :

$x=c_{0}+\sum _{i=1}^{m}k_{i}x_{i}$,

avec

$c_{0}\in C$,

$x_{1},\ldots ,x_{m}\in P$,

$k_{1},\ldots ,k_{m}\in \mathbb {N}$.

$L$ est une progression arithmétique généralisée si $C$ contient un et un seul élément, et $P$ est fini.

Un sous-ensemble de $\mathbb {N} ^{n}$ est dit semi-linéaire si c'est l'union finie de suites arithmétiques généralisées.

Voir aussi

Article connexe

Théorème de Freiman

Bibliographie

(en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and Geometry of Sumsets, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, coll. « GTM » (n^o 165), 1996, 293 p. (ISBN 0-387-94655-1, zbMATH 0859.11003, lire en ligne)