Problème de satisfaction de contraintes

Les problèmes de satisfaction de contraintes ou CSP (Constraint Satisfaction Problem) sont des problèmes mathématiques où l'on cherche des états ou des objets satisfaisant un certain nombre de contraintes ou de critères. Les CSP font l'objet de recherches intenses à la fois en intelligence artificielle et en recherche opérationnelle. De nombreux CSP nécessitent la combinaison d'heuristiques et de méthodes d'optimisation combinatoire pour être résolus en un temps raisonnable. Ils sont notamment au cœur de la programmation par contraintes, un domaine fournissant des langages de modélisation de problèmes et des outils informatiques les résolvant.

Définition formelleModifier

Formellement, un problème de satisfaction de contraintes est défini par un triplet  , où   est un ensemble de   variables,   est un ensemble de   domaines de valeurs tels qu'un de ses éléments   soit le domaine d'une variable   de  , et   est un ensemble de contraintes. Chaque contrainte est à son tour une paire  , où   est un N-uplet de variables et   est un ensemble de N-uplets de valeurs ; tous ces N-uplets ayant le même nombre d'éléments ; ainsi   définit une relation. Une évaluation des variables est une fonction des variables vers les domaines,  . Une telle évaluation satisfait une contrainte   si  . Une solution est une évaluation qui satisfait toutes les contraintes.

Aspects théoriques des CSPModifier

Les CSP sont aussi étudiés en théorie de la complexité des algorithmes et en théorie des modèles finis. Une question importante est de savoir si pour chaque ensemble de relations, l'ensemble de tous les CSP qui peuvent être représentés uniquement par des relations choisies à partir de cet ensemble est soit de classe P soit NP-complet (en présumant P ≠ NP). Si une telle dichotomie est vraie, alors les CSP fournissent l'un des plus larges ensembles connus de NP, évitant les problèmes qui ne sont ni résolubles en un temps polynomial ni NP-complets, dont l'existence fut démontrée par le théorème de Ladner. Les résultats de la dichotomie sont connus pour des CSP où le domaine de valeurs est de taille 2 ou 3 mais le cas général est toujours en question.

La plupart des CSP connus pour être faciles à aborder sont ceux où l'hypergraphe de contraintes a une largeur arborescente limitée (et où il n'y a aucune restriction sur l'ensemble des relations représentant les contraintes), ou alors, les contraintes ont une forme arbitraire mais il existe essentiellement des polymorphismes non-unaires de cet ensemble de relations de contrainte.

ApplicationsModifier

Parmi les problèmes pouvant être modélisés par un CSP, on compte : le problème des huit dames, le problème du théorème des quatre couleurs, le jeu de sudoku et la satisfiabilité booléenne.

AlgorithmesModifier

Les algorithmes utilisés pour résoudre des problèmes de satisfaction de contraintes incluent les algorithme de propagation de contraintes, le retour sur trace (et son évolution non chronologique), l’apprentissage de contraintes (en) et l'algorithme des conflits minimaux (en).

Voir aussiModifier

BibliographieModifier


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Constraint satisfaction problem » (voir la liste des auteurs).