La relation de De Broglie est :
p
=
h
λ
{\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}}
Classiquement, pour une particule de masse
m
{\displaystyle m}
quantité de mouvement
p
{\displaystyle p}
longueur d'onde
λ
{\displaystyle \lambda }
transformation de Galilée :
{
p
→
p
+
m
v
=
p
′
λ
→
λ
=
λ
′
{\displaystyle {\begin{cases}p\to p+mv=p'\\\lambda \to \lambda =\lambda '\end{cases}}}
En effet, une onde classique, de fréquence
ν
{\displaystyle \nu }
f
(
x
,
t
)
=
α
sin
[
2
π
(
x
λ
−
ν
t
)
]
{\displaystyle f(x,t)=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-\nu t\right)\right]}
Et alors, sous une transformation de Galilée pure :
{
x
→
x
+
v
t
=
x
′
t
→
t
=
t
′
{\displaystyle {\begin{cases}x\to x+vt=x'\\t\to t=t'\end{cases}}}
l'onde classique respecte
f
′
(
x
′
,
t
′
)
=
f
(
x
,
t
)
=
α
sin
[
2
π
(
x
′
−
v
t
′
λ
−
ν
t
′
)
]
=
α
sin
[
2
π
(
x
′
λ
−
(
ν
+
v
λ
)
t
′
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x',t')&=f(x,t)\\&=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x'-vt'}{\lambda }}-\nu t'\right)\right]\\&=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x'}{\lambda }}-\left(\nu +{\frac {v}{\lambda }}\right)t'\right)\right]\end{aligned}}}
c'est-à-dire que la longueur d'onde se transforme de la façon mentionnée ci-haut (
λ
′
=
λ
{\displaystyle \lambda '=\lambda }
ν
′
=
ν
+
v
λ
{\displaystyle \nu '=\nu +{\frac {v}{\lambda }}}
Doppler non-relativiste).
Le problème est le suivant : L'imposition de la covariance de la théorie implique qu'on doit avoir, en particulier :
p
′
=
h
λ
′
⇒
p
+
m
v
=
h
λ
{\displaystyle p'={\frac {h}{\lambda '}}\quad \Rightarrow \quad p+mv={\frac {h}{\lambda }}}
ce qui n'est bien sûr pas respecté pour toute transformation de Galilée non triviale (avec
v
≠
0
{\displaystyle v\neq 0}
L'erreur était de supposer que
f
′
(
x
′
,
t
′
)
=
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f'(x',t')=f(x,t)}
ψ
′
(
x
′
,
t
′
)
=
exp
[
2
π
i
h
m
(
1
2
v
2
t
+
v
x
)
]
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi '(x',t')=\exp \left[{\frac {2\pi i}{h}}m\left({\frac {1}{2}}v^{2}t+vx\right)\right]\psi (x,t)}
Pour une onde générale normalisée,
ψ
(
x
,
t
)
=
exp
[
2
π
i
(
x
λ
−
ν
t
)
]
{\displaystyle \psi (x,t)=\exp \left[2\pi i\left({\frac {x}{\lambda }}-\nu t\right)\right]}
ψ
′
(
x
′
,
t
′
)
=
exp
[
2
π
i
x
(
1
λ
+
m
v
h
)
−
2
π
i
t
(
v
−
1
2
m
v
2
h
)
]
=
exp
[
2
π
i
(
x
′
−
v
t
)
(
1
λ
+
m
v
h
)
−
2
π
i
t
′
(
v
−
1
2
m
v
2
h
)
]
=
exp
[
2
π
i
(
x
′
λ
′
−
ν
′
t
′
)
]
,
o
u
`
λ
′
=
(
1
λ
+
m
v
h
)
−
1
,
ν
′
=
ν
+
v
λ
+
m
v
2
2
h
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(x',t')&=\exp \left[2\pi ix\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)-2\pi it\left(v-{\frac {1}{2}}{\frac {mv^{2}}{h}}\right)\right]\\&=\exp \left[2\pi i(x'-vt)\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)-2\pi it'\left(v-{\frac {1}{2}}{\frac {mv^{2}}{h}}\right)\right]\\&=\exp \left[2\pi i\left({\frac {x'}{\lambda '}}-\nu 't'\right)\right]~,\\&\quad {\text{o}}{\grave {\text{u}}}~~\lambda '=\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)^{-1}~,\quad \nu '=\nu +{\frac {v}{\lambda }}+{\frac {mv^{2}}{2h}}\end{aligned}}}
Et ainsi, on comprend qu'une onde en mécanique quantique, contrairement à une onde classique, voit sa fréquence et sa longueur d'onde modifiées sous une transformation de Galilée pure.
Il n'y a donc pas de vrai paradoxe.
(en) J.‐M. Lévy‐Leblond, « Quantum fact and classical fiction: Clarifying Landé’s pseudo‐paradox », American Journal of Physics 1976 , p. 1130 
![{\displaystyle f(x,t)=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-\nu t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6ca945a8bc678320a04498c7855d1a478824b3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x',t')&=f(x,t)\\&=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x'-vt'}{\lambda }}-\nu t'\right)\right]\\&=\alpha \sin \left[2\pi \left({\frac {x'}{\lambda }}-\left(\nu +{\frac {v}{\lambda }}\right)t'\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a936b70cde93c3af695fba0daf9dea2bdc010752)
![{\displaystyle \psi '(x',t')=\exp \left[{\frac {2\pi i}{h}}m\left({\frac {1}{2}}v^{2}t+vx\right)\right]\psi (x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a25cd35a356bc6a8e7adc510e235eb6877c56f)
![{\displaystyle \psi (x,t)=\exp \left[2\pi i\left({\frac {x}{\lambda }}-\nu t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7acfe406f9ac7b3578524668b107be6f7e609a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(x',t')&=\exp \left[2\pi ix\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)-2\pi it\left(v-{\frac {1}{2}}{\frac {mv^{2}}{h}}\right)\right]\\&=\exp \left[2\pi i(x'-vt)\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)-2\pi it'\left(v-{\frac {1}{2}}{\frac {mv^{2}}{h}}\right)\right]\\&=\exp \left[2\pi i\left({\frac {x'}{\lambda '}}-\nu 't'\right)\right]~,\\&\quad {\text{o}}{\grave {\text{u}}}~~\lambda '=\left({\frac {1}{\lambda }}+{\frac {mv}{h}}\right)^{-1}~,\quad \nu '=\nu +{\frac {v}{\lambda }}+{\frac {mv^{2}}{2h}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76e33ef3b90c7e199c288cfdaaa72febdda2f16)
