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En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys[1]) est un couple de nombres premiers dont la différence est 6 (autrement dit, un couple de la forme (p, p + 6) où p et p + 6 sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11.

Le terme « sexy » est un jeu de mot basé sur le mot latin pour « six » : sex.

Sommaire

GroupementsModifier

CouplesModifier

Les couples de nombres premiers sexy (suites  A023201 et  A046117 de l'OEIS, ou suite  A156274) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu est (p, p + 6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)2 - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen[2].

TripletsModifier

Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites  A046118,  A046119 et  A046120 de l'OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12) pour :

p = (84055657369 × 205881 × 4001# × (205881 × 4001# + 1) + 210) × (205881 × 4001# - 1) / 35 + 1.

Découvert par Ken Davis, il comporte 5 132 chiffres[3].

QuadrupletsModifier

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites  A046121,  A046122,  A046123 et  A046124 de l'OEIS) sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu est (p, p + 6, p + 12, p + 18) pour :

p = 411784973 × 2347# + 3301.

Il a été découvert par Jens Kruse Andersen et comporte 1 002 chiffres[2].

QuintupletModifier

Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)[4].

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sexy prime » (voir la liste des auteurs).
  1. Selon l’orthographe recommandée depuis les rectifications orthographiques du français en 1990.
  2. a et b (en) Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.
  3. (en) The Largest Known CPAP's, sur le site de Jens Kruse Andersen.
  4. Démonstrations détaillées sur le site ChronoMath.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Sexy Primes », sur MathWorld