Méthode d'Euler

méthode de résolution numérique d'une équation différentielle linéaire

En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles.

Principe de la méthodeModifier

 
Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial.

La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme

 

I est un intervalle de   et f, une fonction réelle sur  .

Étant donnée une condition initiale  , la méthode fournit pour tout point bI une suite   d'approximations de la valeur u(b) que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur f peuvent assurer la convergence de cette suite.

La valeur un(b) s'obtient en calculant n valeurs intermédiaires   de la solution approchée aux points   régulièrement répartis entre a et b, donnés par

 

Euler expliciteModifier

En étendant cette notation à x0 = a, y0 = u(a) et xn = b, yn = un(b) et en utilisant l'approximation de la dérivée

 

On en déduit la relation suivante :

 

Les valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence

 

qui est le schéma d'Euler explicite.

Euler impliciteModifier

En remarquant, que l'on peut aussi approcher la dérivée en xi +1 par la même relation

 

on en déduit la relation de récurrence

 

qui est le schéma d'Euler implicite. On notera que dans ce schéma, le terme yi +1 apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui contraint à utiliser des méthodes de résolution numérique du type de la relation de Newton-Raphson pour déterminer yi +1 à chaque itération si la fonction f est non-linéaire.

ExemplesModifier

Application à l'intégrationModifier

L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction f est continue et ne dépend que de x :  . On démontre alors, en utilisant la continuité uniforme de f sur [a ,b] (théorème de Heine), que la suite   est de Cauchy, et donc converge par complétude de  .

En fait, on a :  

On reconnait la méthode des rectangles à gauche pour le calcul de la solution exacte  .

Exemple 
 

Étant donnée la fonction   et les valeurs initiales x0 = 1 et y0 = F(x0) = 14.

Le calcul des valeurs F(x1), F(x2), F(x3)… permet d'obtenir la représentation graphique de F par les segments [A0A1], [A1A2], [A2A3]…

 

La fonction f a pour primitive   avec x0 = 1 et y0 = G(x0) = 14.

La courbe (C) représentative de G est ici placée sur le même graphe pour visualiser le calcul des tangentes.

La fonction affine par morceaux est une approximation de la primitive G.

Cas linéaireModifier

Un autre cas classique est celui où f est une fonction linéaire en u :  . Le schéma donne alors :

  soit

 

On retrouve au point final une valeur approchée de la solution exacte pour peu que N soit suffisamment grand :  .

On peut également constater que si le pas est trop grand, la suite (géométrique) prend des valeurs de plus en plus grandes et diverge de la solution (le schéma est instable). Un palliatif est d'utiliser une méthode d'Euler implicite :  

Ce schéma est plus stable numériquement et garantit plus simplement la convergence vers la solution.

Erreur de la méthodeModifier

La méthode d'Euler est simple mais l'erreur induite peut être assez élevée si le pas est choisi trop grand. En effet, le calcul de l'erreur de consistance donne par la formule de Taylor-Lagrange :  

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

Méthode d'Euler. Construction point par point d'une courbe intégrale avec GéoPlan. sur le site de P. Debart