Méplat (mathématiques)

En analyse, un méplat est de façon générale un point d'une courbe ou d'une surface où celle-ci est approximativement rectiligne, ou plane.

Méplat à deux dimensions

La courbe d'équation $y=x^{4}$ présente un méplat en $x=0$.

Dans un repère cartésien $\{x,y\}$, le graphe $y=f(x)$ d'une fonction $f$ présente un méplat à l'abscisse $x_{0}$ si :

${\begin{cases}f''(x_{0})=f'''(x_{0})=0\\f^{(4)}(x_{0})\neq 0\end{cases}}$

ou, plus généralement, s'il existe un entier pair $k$ supérieur à $2$, tel que $f$ soit dérivable au moins $k$ fois en $x_{0}$ et que :

${\begin{cases}f^{(n)}(x_{0})=0\quad {\text{pour}}\quad n=2,\dots ,k-1\\f^{(k)}(x_{0})\neq 0\end{cases}}$

Le point $(x_{0},f(x_{0}))$ est un point méplat. La courbure en $x=x_{0}$ est nulle, et elle a le même signe de part et d'autre de $x_{0}$ (pour $x=x_{0}-\varepsilon \,$ et $\,x=x_{0}+\varepsilon$, où $\varepsilon$ désigne un infiniment petit), ce qui distingue les points méplats des points d'inflexion.

Méplat à trois dimensions

Un méplat (ou point planaire) d'une surface S est un point où les deux courbures principales sont nulles.