Médiane des médianes

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Médiane des médianes
Problème lié Algorithme de sélection
Structure des données Tableau
Temps d'exécution pire-cas
Complexité algorithmique spatiale en place

La médiane des médianes est un algorithme de sélection pour trouver le kième élément le plus grand au sein d'une liste non triée. Il est basé sur l'algorithme Quickselect. Cet algorithme est optimal dans le pire cas, avec une complexité en temps linéaire. La brique de base de l'algorithme est la sélection d'une médiane approchée en temps linéaire. L'algorithme est parfois appelé BFPRT d'après les noms des auteurs : Blum, Floyd, Pratt (en), Rivest et Tarjan.

Principe général de l'algorithmeModifier

L'algorithme se déroule en 3 étapes :

  • L'algorithme divise la liste en groupes de cinq éléments. Ensuite, pour chaque groupe de cinq, la médiane est calculée (une opération qui peut s'effectuer en temps constant, par exemple en utilisant un algorithme de tri[1]).
  • L'algorithme est alors appelé récursivement sur cette sous-liste de   éléments pour trouver la vraie médiane de ces éléments. On peut alors garantir que l'élément obtenu se place entre le 30e et le 70e centile.
  • Enfin, la médiane des médianes est choisie pour être le pivot. Selon la position de l'élément recherché, l'algorithme recommence avec les éléments au-dessus du pivot ou en dessous, qui représentent au plus 70 % de la taille initiale de l'espace de recherche.

Propriétés du pivotModifier

Parmi les   groupes, la moitié ont leur médiane en dessous du pivot (la médiane des médianes), ce qui garantit au moins   éléments en dessous du pivot (3 parmi chacun des   groupes). Ainsi, le pivot choisi est à la fois inférieur à environ   éléments et plus grand que   éléments. Ainsi, la médiane divise les éléments choisis quelque part entre 30 %70 % et 70 %30 %, ce qui assure dans le pire des cas un comportement linéaire de l'algorithme. Pour visualiser :

Une itération des deux premières étapes de l'algorithme sur {0,1,2,3,...99}
12 15 11 2 9 5 0 7 3 21 44 40 1 18 20 32 19 35 37 39
13 16 14 8 10 26 6 33 4 27 49 46 52 25 51 34 43 56 72 79
Médianes 17 23 24 28 29 30 31 36 42 47 50 55 58 60 63 65 66 67 81 83
22 45 38 53 61 41 62 82 54 48 59 57 71 78 64 80 70 76 85 87
96 95 94 86 89 69 68 97 73 92 74 88 99 84 75 90 77 93 98 91

En rouge, la médiane des médianes.

Preuve du O(n)Modifier

Avec   le temps d’exécution de l'algorithme sur une entrée de taille  , on a la récurrence suivante:

 

  • le facteur   est la recherche de la médiane parmi les   médianes de quintuplet.
  • le facteur   est le coût du travail de partitionnement autour du pivot.
  • le facteur   est l'appel récursif (dans le pire cas) pour trouver le ke élément dans la partition correspondante.

De cette formule de récurrence on vérifie simplement par induction:

 

Autres usages de la médianeModifier

La sélection d'une médiane approchée en temps linéaire peut aussi être utilisée pour garantir au tri rapide une complexité en   dans le pire cas. Dans les deux cas, l'utilisation de la médiane est en moyenne moins efficace que le choix d'un pivot aléatoire, qui évite le surcoût du calcul du pivot.

HistoireModifier

L'algorithme de la médiane des médianes fut publié par Blum, Floyd, Pratt (en), Rivest et Tarjan en 1973 dans Time bounds for selection[2], et est parfois appelé BFPRT d'après les noms des auteurs.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein, Introduction to Algorithms, MIT Press, , 3e éd. [détail de l’édition]
  2. (en) M. Blum, R. W. Floyd, V. Pratt, R. Rivest et R. Tarjan, « Time bounds for selection », J. Comput. System Sci., vol. 7,‎ , p. 448-461