Inégalité de Paley–Zygmund

En mathématiques, l’inégalité de Paley-Zygmund minore la probabilité qu'une variable aléatoire positive soit « petite », au sens de sa valeur moyenne attendue et de sa variance. Elle fut établie par Raymond Paley et Antoni Zygmund.

Inégalité

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Énoncé

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Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors

 

Démonstration

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Tout d'abord, on a :

 

Le premier terme de la somme est égal, au plus, à  . Le second terme est au plus égal à :

 

d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.

Inégalités liées

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En réécrivant le membre de droite, l'inégalité de Paley-Zygmund se met sous la forme :

 

L'Inégalité de Cauchy-Schwarz donne une meilleure minoration :

 

ce qui implique, après réarrangement,

 

Références

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  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Paley–Zygmund inequality » (voir la liste des auteurs).
  • R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272.