Formule de Brahmagupta

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, portant le nom du mathématicien indien du VII^e siècle Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

où $p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\,$ est le demi-périmètre du quadrilatère, $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont les longueurs de ses côtés et $S$ son aire ^[1].

Elle représente un cas particulier de la formule de Bretschneider donnant l'aire d'un quadrilatère non forcément inscriptible, concave ou convexe mais non croisé.

Démonstration

Figure illustrative.

En suivant les notations de la figure, l'aire $S$ du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles $(ADB)$ et $(BDC)$ :

S={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {A}}+{\frac {1}{2}}cd\sin {\widehat {C}}

mais comme $(ABCD)$ est inscriptible, les angles en $A$ et $C$ sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : $S={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin {\widehat {A}}$

d'où en élevant au carré :

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}{\widehat {A}}(ab+cd)^{2}\,

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles $(ADB)$ et $(BDC)$ et en égalant les expressions du côté commun $DB$ , on obtient :

a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\widehat {A}}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\widehat {C}}\,

ce qui s'écrit puisque les angles en $A$ et $C$ sont supplémentaires :

2\cos {\widehat {A}}(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.\,

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

{\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\\&=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\\&=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\end{aligned}}

En introduisant $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ , on obtient :

16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,

d'où

S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.

Cas particuliers

Le carré correspond au cas $b=c=d=a,\quad p=2a$ et $S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,$
Le rectangle correspond au cas $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)$ et $S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,$
Le triangle correspond au cas $d=0\quad$ : on retrouve alors la formule de Héron.

Aire d'un quadrilatère inscriptible croisé

Dans le cas d'un quadrilatère inscriptible croisé, l'aire algébrique $S$ , différence des aires des triangles $(ADB)$ et $(BDC)$ , est donnée au signe près par : $4S^{2}=(ab-cd)^{2}\sin ^{2}{\widehat {A}}$ , qui conduit de la même façon que ci-dessus à :

$16S^{2}=4(ab-cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}=-(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)$ ,

ce qui revient à changer l'une des 4 lettres $a,b,c,d$ en son opposé dans la formule de Brahmagupta. On a aussi :

$S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd$ ^[2].

On retrouve par exemple que l'aire est nulle pour un antiparallélogramme ( $a=c,b=d$ ).

Généralisation à l'aire d'un polygone inscriptible

En utilisant les fonctions symétriques élémentaires $\sigma _{i}$ de $a^{2},b^{2},c^{2},d^{2}$ , la formule de Brahmagupta pour un quadrilatère inscriptible convexe s'écrit $16S^{2}=8abcd+2\sigma _{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=8abcd+4\sigma _{2}-\sigma _{1}^{2}$ , et pour un quadrilatère inscriptible croisé, $16S^{2}=-8abcd+4\sigma _{2}-\sigma _{1}^{2}$ , d'où la relation valable pour un quadrilatère inscriptible quelconque : $(16S^{2}-4\sigma _{2}+\sigma _{1}^{2})^{2}=64\sigma _{4}$ .

David Robbins a démontré que plus généralement, l'aire $S$ d'un polygone inscriptible de côtés de longueurs $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ vérifie une relation du type $P(16S^{2},a_{1}^{2},a_{2}^{2},\cdots ,a_{n}^{2})=0$ où $P$ est un polynôme à coefficients entiers symétrique en ses $n$ dernières variables^[2]^,^[3].

Dans le cas $n=5$ , cette relation a permis de déterminer les propriétés des pentagones de Robbins, pentagones à longueurs de côtés et aire rationnelles.

Notes et références

↑ Yves Ladegaillerie, Géométrie, Ellipses, 2003, p. 363
↑ ^{a et b} (en) David P. Robbins, « Areas of polygons inscribed in a circle », Discrete and Computational Geometry, vol. 12, n^o 2,‎ 1994, p. 223–236 (DOI 10.1007/BF02574377, lire en ligne)
↑ Fabien Aoustin, « Les pentagones de Robbins », Hors série Tangente, vol. 92,‎ 2024, p. 32-35 (lire en ligne )