Formule de Brahmagupta

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et son aire.

DémonstrationModifier

 
Diagramme de référence

En suivant les notations de la figure, l'aire   du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles   et   :

 

mais comme   est inscriptible, les angles en   et   sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite :  

d'où en élevant au carré :  

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles   et   et en égalant les expressions du côté commun   on obtient :

 

ce qui s'écrit puisque les angles   et   sont supplémentaires :

 

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

 

 
 
 

En introduisant  , on obtient :

 

d'où

 

Cas particuliersModifier

  • Le carré :   et  
  • Le rectangle :   et  
  • Le triangle :   ; on retrouve la formule de Héron.

Liens externesModifier

Une autre explication de la formule de Brahmagupta par Michel Hort.