Formulaire de physique statistique

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Outils mathématiques modifier

Intégrales usuelles modifier

$\int _{0}^{\infty }x^{n}\mathrm {e} ^{-x}=n!$

Intégrales de Gauss $I_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\mathrm {e} ^{-ax^{2}}$
$I_{0}$	$I_{1}$	$I_{2}$	$I_{3}$	$I_{4}$	$I_{5}$	$I_{n}$
${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$	${\frac {1}{2a}}$	${\frac {1}{4a}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$	${\frac {1}{2a^{2}}}$	${\frac {3}{8a^{2}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$	${\frac {1}{a^{3}}}$

Description des systèmes modifier

$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$

Propriétés des systèmes
Ensemble et probabilité
Ensemble considéré	Micro-canonique	Canonique	Grand-canonique
Grandeurs fixées	$(E,V,N)$	$(T,V,N)$	$(T,V,\mu )$
Probabilité d'un micro-état $X$	${\frac {1}{\Omega }}$	${\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{X}}}{Z}}$	${\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{X}+\beta \mu N_{X}}}{\Xi }}$
Condition de normalisation/fonction de partition	$\Omega =\sum _{X}1$	$Z=\sum _{X}\mathrm {e} ^{-\beta E_{X}}$	$\Xi =\sum _{X}\mathrm {e} ^{-\beta E_{X}+\beta \mu N_{X}}$
Potentiel thermodynamique pertinent	$S=k_{B}\ln \Omega$	$F=-k_{B}T\ln Z$	$G=-k_{B}T\ln \Xi$
Grandeurs intensives
$T$	$\left(\left.{\frac {\partial S}{\partial E}}\right\|_{V,N}\right)^{-1}$	Fixé par le thermostat	Fixé par le thermostat
$P$	$T\left.{\frac {\partial S}{\partial V}}\right\|_{E,N}$	$-\left.{\frac {\partial F}{\partial V}}\right\|_{T,N}$	$-\left.{\frac {\partial G}{\partial V}}\right\|_{T,\mu }$
$\mu$	$-T\left.{\frac {\partial S}{\partial N}}\right\|_{V,E}$	$\left.{\frac {\partial F}{\partial N}}\right\|_{T,V}$	Fixé par le réservoir de particules
Grandeurs extensives
$\langle E\rangle$	Fixé	$-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$	$-{\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \beta }}+\mu \langle N\rangle$
$\langle N\rangle$	Fixé	Fixé	${\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \mu }}$
Entropie
$S$	$k_{B}\ln \Omega$	$-\left.{\frac {\partial F}{\partial T}}\right\|_{V,N}$	$-\left.{\frac {\partial G}{\partial T}}\right\|_{V,\mu }$

Approximation classique/continue modifier

Avant toute chose, on remarquera qu'on peut toujours remplacer une somme sur les micro-états accessibles aux systèmes, par une somme sur toutes les énergies pondérée par leurs dégénérescences notée $g(E_{X})$ on a alors

$\sum _{X}\dots =\sum _{E_{X}}g(E_{X})$

Pour un système fini les niveaux d’énergies du système sont en général discrets, cependant pour un système de taille macroscopique la différence entre deux niveaux d'énergies successifs est très petite, si bien que l'on peut remplacer la somme précédente par une intégrale

$\sum _{E_{X}}g(E_{X})\approx \int _{E_{0}}^{\infty }\rho (E)\mathrm {d} {E}$

Avec $\rho (E)$ la densité d'état accessibles pour une énergie $E\in [E,E+\delta E]$ que l'on peut écrire $\rho (E)={\frac {\mathrm {d} N(E)}{\mathrm {d} E}}$ où $N(E)$ est le nombre d'état d’énergie inférieur ou égale à $E\in [E,E+\delta E]$

$\rho (E)\mathrm {d} {E}=\left\{{\begin{array}{l}\prod _{i=1}^{i=N}{\frac {\mathrm {d} {\mathbf {r} _{i}}\mathrm {d} {\mathbf {p} _{i}}}{h^{3N}}}&{\text{si les particules sont discernables}}\\{\frac {1}{N!}}\prod _{i=1}^{i=N}{\frac {\mathrm {d} {\mathbf {r} _{i}}\mathrm {d} {\mathbf {p} _{i}}}{h^{3N}}}&{\text{si les particules sont indiscernables}}\\\end{array}}\right.$