Ouvrir le menu principal

Formulaire d'électromagnétisme statique

Sommaire

ElectrostatiqueModifier

Force électrostatiqueModifier

La force électrostatique entre deux charges ponctuelles ( ) est donnée par la loi de Coulomb :

 
avec   et
 
 

Deux charges de 1 coulomb situées à 1 mètre l'une de l'autre se repoussent avec une force de 9 × 109 N et cette force maintiendrait en lévitation quasiment un million de tonnes ! Alors qu'un courant de 1 ampère correspond au passage de 1 coulomb par seconde. Le coulomb est adapté lorsque l'on parle de courant électrique et d'énergie électrique: 1 joule = 1 coulomb x 1 volt.

Un électron a une charge de 1,6 × 10−19 C et les énergies le concernant s'expriment en 1 électron × 1 volt = 1 eV.

Champ électrostatiqueModifier

Le champ électrostatique créé en 2 par une charge ponctuelle   située en 1 (la charge pouvant être positive ou négative) vaut, en unités SI :

 

La force s'exerçant sur une charge   plongée dans ce champ au point 2 vaut alors : 

Champ gradient d'un potentielModifier

Avec   C'est-à-dire en plaçant l'origine sur la charge pour simplifier les écritures et les calculs, et en remarquant que le calcul mathématique des dérivées partielles donne pour r non nul:

 

soit :  

finalement :  

Ce résultat est une égalité purement mathématique et on obtient l'expression correspondante de la physique en simplement multipliant   par la constante physique :  pour une charge q1 ponctuelle :

 

Tout ceci étant linéaire, c'est encore vérifié pour une distribution quelconque de charges.

Champ à divergence nulleModifier

 
 

Or :

 

L'addition de ces trois lignes donne :

  si  

On a bien montré que les champs en   sont tels que leur divergence est nulle :  

Autre notation :   et donc :   seulement si la charge est ponctuelle (sans sens physique).

Sinon :   à l'aide du théorème du gradient. Sinon voir plus bas la relation de Maxwell-Gauss.

Champ à rotationnel nulModifier

 

Or :

 

La soustraction de ces deux dernières lignes donne :

 

De même avec les deux autres composantes de y et z du rotationnel.\\ On a bien montré que les champs en   sont tels que leur rotationnel est nul :  

Autre notation :  

Potentiel à Laplacien nulModifier

Avec :  et  

On obtient que :   sauf, bien sûr, là où il y a des charges :

 .

qu'il faut résoudre.

Résolution de l'équation de Laplace (Δ V=0)Modifier

En cas de symétrie cylindrique ou sphérique de la distribution de charges rappelons l'expression de Δ :

En coordonnées cylindriques :

 

En coordonnées sphériques :

 

Donc, en cas de symétrie cylindrique V ne peut dépendre ni de θ ni de z, et dans le cas de symétrie sphérique V ne peut dépendre ni de θ ni de φ, les équations à résoudre deviennent:

En coordonnées cylindriques :

 

En coordonnées sphériques :

 

Toutes les deux très simples à résoudre puisque :

En cylindriques :  donne :  soit :  et en intégrant encore : 

En sphériques: :  donne::  soit :  et en intégrant encore: 

Critique sur la notion de charge ponctuelleModifier

La loi de Coulomb qui exprime que l'action d'une charge sur une autre est en carré de l'inverse de la distance entre les charges ne s'applique que lorsque les charges sont éloignées ; cette variation conduit à une valeur infinie si l'on prend une distance nulle. L'infini n'ayant pas de sens il est préférable d'exclure l'existence de charges ponctuelles. Si on suppose une densité de charge volumique ρ ou surfacique σ ayant la symétrie sphérique, on montre, par application du théorème mathématiques de Green que :

 

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est l'intégrale sur le volume contenu dans S de la divergence du champ. Si de plus on applique le théorème de Gauss qui permet de trouver ce flux en fonction des charges intérieures :

 

On obtient :

  que l'on appelle « expression locale de la loi de Coulomb » ou encore « équation de Maxwell-Gauss » .

Résolution de l'équation de Poisson (Δ V= -ρ/ε)Modifier

Là aussi limitons la résolution au cas d'une symétrie :

En cylindriques :  donne :  soit :  et en intégrant encore : 

En sphériques:  donne:  (on exclut la possibilité d'avoir un champ infini et donc on choisit  )

soit :  

et en intégrant encore : 

Principe de superpositionModifier

Le champ créé par plusieurs charges est additif (principe de superposition) :

 

Là aussi  

Distribution de charges continueModifier

Pour une distribution de charges continue dans l'espace, le champ vaut :

  où ρ est la densité volumique de charge en i,   est le vecteur allant de i au point (x, y, z) ; autour du point i il y a une charge ρ  .

 

MagnétostatiqueModifier

Champ magnétiqueModifier

Le champ magnétique créé en 2 par une charge ponctuelle   située en 1 (la charge pouvant être positive ou négative) et animée d'une vitesse v1, en unités SI :

 

La force s'exerçant sur une charge   plongée dans ce champ au point 2 vaut alors :

 

Si on essaie de se représenter cela en prenant pour simplifier q1 en O avec v1 suivant Oz, on a en coordonnées cylindriques :

 

est suivant 

et donc la force résultante est dans le plan   comme le confirme le calcul suivant : exprimons v2 en coordonnées cylindriques :   et remplaçons le dans l'expression :

 

On a là le classique « deux courant parallèles et de même sens s'attirent » puisque deux charges en mouvement suivant une même direction s'attirent par effets magnétiques de l'une sur l'autre.

Champ rotationnel d'un potentiel vecteurModifier

Montrons que : 

est le rotationnel de : 

Pour simplifier plaçons q1 en O, laissons les constantes physiques de côté et remarquons que

 

Ceci est un résultat d'analyse vectorielle, de « géométrie » ; avec le facteur des constantes physiques :  on obtient :

 

qui est une relation exprimant que le champ magnétique peut se déduire ou « dérive » d'un potentiel appelé le potentiel vecteur.

Champ à divergence nulleModifier

 
 

On a bien montré que les champs en   sont tels que leur divergence est nulle :  

Autre notation :   et donc :  

Champ à rotationnel nulModifier

 

Distribution continue de courantModifier