On définit deux familles de fonctions de Kelvin-Bessel.
La première famille comporte deux fonctions
b
e
r
ν
{\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }}
b
e
i
ν
{\displaystyle \mathrm {bei} _{\nu }}
ν
{\displaystyle \nu }
J
ν
(
e
i
3
π
/
4
x
)
=
ber
ν
(
x
)
+
i
bei
ν
(
x
)
{\displaystyle J_{\nu }({\rm {e}}^{{\rm {i}}\,3\,\pi /4}\,x)=\operatorname {ber} _{\nu }(x)+{\rm {i}}\,\operatorname {bei} _{\nu }(x)}
Une autre façon de définir ces fonctions est de les écrire sous la forme d'une série :
ber
ν
(
x
)
=
∑
p
=
0
∞
cos
(
π
(
3
ν
4
+
p
2
)
)
p
!
Γ
(
ν
+
p
+
1
)
(
x
2
)
2
p
+
ν
{\displaystyle \operatorname {ber} _{\nu }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {\cos \left(\pi \,({\frac {3\,\nu }{4}}+{\frac {p}{2}})\right)}{p!\,\Gamma (\nu +p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2p+\nu }}
bei
ν
(
x
)
=
∑
p
=
0
∞
sin
(
π
(
3
ν
4
+
p
2
)
)
p
!
Γ
(
ν
+
p
+
1
)
(
x
2
)
2
p
+
ν
{\displaystyle \operatorname {bei} _{\nu }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {\sin \left(\pi \,({\frac {3\,\nu }{4}}+{\frac {p}{2}})\right)}{p!\,\Gamma (\nu +p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2p+\nu }}
La seconde famille comporte deux autres fonctions
k
e
r
ν
{\displaystyle \mathrm {ker} _{\nu }}
k
e
i
ν
{\displaystyle \mathrm {kei} _{\nu }}
ν
{\displaystyle \nu }
e
−
i
π
ν
/
2
K
ν
(
e
i
π
/
4
x
)
=
ker
ν
(
x
)
+
i
kei
ν
(
x
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{-{\rm {i}}\,\pi \,\nu /2}\,K_{\nu }({\rm {e}}^{{\rm {i}}\,\pi /4}\,x)=\operatorname {ker} _{\nu }(x)+{\rm {i}}\,\operatorname {kei} _{\nu }(x)}
Quelques propriétés
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Représentation graphique
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Les fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
b
e
r
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {ber} (x)}
b
e
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {bei} (x)}
x
{\displaystyle x}
Courbes représentatives des fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre zéro
b
e
r
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {ber} (x)}
b
e
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {bei} (x)}
Les fonctions
b
e
r
ν
{\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }}
b
e
i
ν
{\displaystyle \mathrm {bei} _{\nu }}
x
2
d
2
y
d
x
2
+
x
d
y
d
x
−
(
i
x
2
+
ν
2
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-({\rm {i}}\,x^{2}+\nu ^{2})\,y=0}
dont la solution générale s'écrit :
y
(
x
)
=
ber
ν
(
x
)
+
i
bei
ν
(
x
)
{\displaystyle y(x)=\operatorname {ber} _{\nu }(x)+{\rm {i}}\,\operatorname {bei} _{\nu }(x)}
∫
ber
ν
(
x
)
x
1
+
ν
d
x
=
−
x
1
+
ν
2
[
ber
ν
+
1
(
x
)
−
bei
ν
+
1
(
x
)
]
{\displaystyle \int \operatorname {ber} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x=-{\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}
∫
bei
ν
(
x
)
x
1
+
ν
d
x
=
x
1
+
ν
2
[
ber
ν
+
1
(
x
)
−
bei
ν
+
1
(
x
)
]
{\displaystyle \int \operatorname {bei} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x={\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}
Représentations graphiques
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Tracés sur le plan complexe (de z = –2–2i2+2i )
ber(z)
bei(z)
ker(z)
kei(z)
Tracés sur la droite réelle des fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre 0
ber(x )
bei(x )
ker(x )
kei(x )
Tracés sur la droite réelle des fonctions de Kelvin-Bessel normalisées d'ordre 0
e
−
x
/
2
b
e
r
(
x
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{-x/{\sqrt {2}}}\mathrm {ber} (x)}
e
−
x
/
2
b
e
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{-x/{\sqrt {2}}}\mathrm {bei} (x)}
e
x
/
2
k
e
r
(
x
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{x/{\sqrt {2}}}\mathrm {ker} (x)}
e
x
/
2
k
e
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {e}}^{x/{\sqrt {2}}}\mathrm {kei} (x)}
A. Angot, Compléments de mathématiques à l'usage des ingénieurs de l'électrotechnique et des télécommunications , Paris, Masson, 1972 (en) F. D. Burgoyne, « Approximations to Kelvin Functions », Mathematics of Computation 1963 (DOI 10.1090/S0025-5718-1963-0159416-9 lire en ligne ) 
![{\displaystyle \int \operatorname {ber} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x=-{\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f83b2696504c1a1fc8744771088df56effc17d)
![{\displaystyle \int \operatorname {bei} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x={\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d462c7804339c2515346c67bcaca42cab8c9efaf)
ber(z)
bei(z)
ker(z)
kei(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
ber(x)
bei(x)
ker(x)
kei(x)
