Description

DescriptionKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Date	05/08/06
Source	Own drawing, Mathematica 5.1
Auteur	Fropuff, Inductiveload
Autorisation (Réutilisation de ce fichier)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Cette œuvre a été placée dans le domaine public par son auteur, Fropuff. Ceci s’applique dans le monde entier. Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ; dans ce cas : Fropuff accorde à toute personne le droit d’utiliser cette œuvre dans n’importe quel but, sans aucune condition, sauf celles requises par la loi. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Cette œuvre a été placée dans le domaine public par son auteur, Inductiveload. Ceci s’applique dans le monde entier. Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ; dans ce cas : Inductiveload accorde à toute personne le droit d’utiliser cette œuvre dans n’importe quel but, sans aucune condition, sauf celles requises par la loi.
Autres versions	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

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Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.