Empilement de sphères dans une sphère

L'empilement de sphères dans une sphère est un problème d'empilement tridimensionnel dont l'objectif est d'empiler des sphères identiques de nombre n dans une sphère unité. C’est l’équivalent tridimensionnel du problème bidimensionnel de l'empilement de cercles dans un cercle.

Nombre de sphères unités n	Rayon maximal des sphères intérieures		Optimalité	Figure
	Forme exacte	Approximation
1	$1$	1,0000	Trivial
2	${\dfrac {1}{2}}$	0,5000	Trivial
3	$2{\sqrt {3}}-3$	0,4641...	Trivial
4	${\sqrt {6}}-2$	0,4494...	Prouvé optimal
5	${\sqrt {2}}-1$	0,4142...	Prouvé optimal
6	${\sqrt {2}}-1$	0,4142...	Prouvé optimal
7	${\frac {1}{{\frac {{\sqrt {3}}+2\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}{\sqrt {2+2{\sqrt {3}}\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}}+1}}$	0,3859...	Prouvé optimal
8	${\frac {1}{{\sqrt {2+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}+1}}$	0,3780...	Prouvé optimal
9	${\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}$	0,3660...	Prouvé optimal
10		0,3530...	Prouvé optimal
11	${\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	0,3445...	Prouvé optimal
12	${\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	0,3445...	Prouvé optimal

Voir aussi

• (en) WenQi Huang et Liang Yu, « Serial Symmetrical Relocation Algorithm for the Equal Sphere Packing Problem », 2012.
• T. Gensane, « Dense packings of equal spheres in a larger sphere », Les Cahiers du LMPA J. Liouville, vol. 188,‎ 2003
• (en) Károly Böröczky (hu) et László Szabó, « Arrangements of 13 points on a sphere », dans Andras Bezdek, Discrete Geometry, Marcel Dekker, 2003 (ISBN 0-8247-0968-3, lire en ligne), p. 111-184