Discussion:Suite principale d'un groupe

Histoire

Je pense qu'il vaut mieux ne pas faire d'histoire des maths dans les articles sans l'appui d'une source secondaire, mais qu'on peut mettre des jalons sur les pages de discussion.

Voici une apparition de la notion de suite principale dans le Traité des Substitutions et équations algébriques de Jordan, 1870 (réimpr. Jacques Gabay 1989), p. 48 :

"59. Théorème. Soient G, H, ..., I, K, ..., 1 une suite de groupes dont chacun soit aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précédent et permutables à toutes les substitutions de G; H un groupe quelconque de cette suite; I, K deux autres groupes successifs quelconques. Supposons qu'on puisse déterminer un groupe intercalaire L, contenu dans I et contenant K, auquel les substitutions H soient permutables, et si cette détermination peut se faire de plusieurs manières, choisissons-le de manière que son ordre soit minimum. Soient, dans ce cas, n, mn, μn les ordres respectifs de K, L, I; μ sera une puissance exacte de m."

Dans le langage de Jordan, "groupe" signifie "groupe de permutations d'un ensemble fini", "aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précédent" signifie "aussi grand que possible parmi ceux qui sont strictement contenus dans le précédent" et "permutables à toutes les substitutions de G" signifie "normaux dans G", donc les hypothèses sur la suite en question signifient que c'est une suite principale (d'un groupe de permutations d'un ensemble fini).

Par parenthèse, j'ai l'impression qu'il manque des pointillés dans la description de la suite et qu'il faut lire G, ..., H, ..., I, K, ..., 1, sinon la description de la suite met H en seconde position de la suite, alors que plus loin dans le théorème, Jordan dit que H est un groupe quelconque de la suite. Mais j'ai tout de même l'impression que H n'est pas tout à fait quelconque, en ce sens qu'il doit venir avant I et donc contenir I. Sinon, on pourrait prendre H = 1 (car H = 1 normalise L, ce qui est le sens de l'hypothèse selon laquelle "les substitutions H sont permutables à L") et on pourrait prendre pour L un groupe d'ordre minimum parmi les sous-groupes intercalaires entre I et K, or le théorème est faux dans ce cas. Compris comme je l'indique, ce théorème de Jordan peut se déduire de celui-ci : soient G un groupe fini, H un sous-groupe normal de G, I un sous-groupe normal minimal de G contenu dans H, L un sous-groupe normal minimal de H contenu dans I, alors I est produit direct de sous-groupes G-conjugués de L. (Imiter la démonstration du cas particulier classique où H = I, par exemple dans W.R. Scott, Group Theory, 4.4.3, p. 74).

Quant à l'expression "Suite principale d'un groupe", Google ne la trouve qu'une fois, à savoir dans un compte rendu, signé J. Molk, du livre de E. Netto, Substitutionstheorie und ihre Anwendung auf die Algebra (Leipzig, 1882), compte rendu paru dans le Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 2e série, tome 7, n° 1, 1883, p. 57-72, consultable sur le site Numdam. À la page 62, Molk mentionne "la" suite principale d'un groupe mais sans la définir, il se contente de signaler une propriété qu'elle a dans un cas "particulièrement important". Sauf erreur, c'est le cas où le groupe est résoluble, cas où une suite principale au sens de notre article possède en effet la propriété en question. J'imagine donc que Netto utilise une expression allemande équivalant à l'expression française "suite principale".

D'ailleurs, dans Molk J. (ed.) - Encyclopédie des sciences mathématiques. I 1. Arithmétique (1916), p. 568, consultable sur le site Librarum, on donne une définition d'une "suite principale de composition de G" qui revient à la définition d'une suite principale de G telle que définie dans notre article (mais on dit erronément qu'une telle suite peut être obtenue en supprimant dans "la suite de composition de G", comprendre dans n'importe quelle suite de Jordan-Hölder de G, les sous-groupes qui ne sont pas normaux dans G, erreur contre laquelle Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2e éd., 1911, p. 58 et 73, met en garde) et on dit en note 196 : « E. Netto l'appelle "série fondamentale" (Grundreihe) et "série principale" (Hauptreihe) [J. reine angew. Math. 78 (1874), p. 82; Substitutionstheorie⁵¹), p. 92]. » Marvoir (discuter) 26 novembre 2013 à 11:23 (CET)