Stratégie: (valable de manière générale pour le calcul de déterminants «compliqués»)
Raisonner par récurrence sur la taille du déterminant.
Faire des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaître une ligne/colonne composée de
1
{\displaystyle 1}
.
Soustraire les lignes/colonnes de manière à obtenir une ligne/colonne presque composée uniquement de
0
{\displaystyle 0}
sauf pour un seul coefficient.
Développer par rapport à cette dernière et obtenir une relation de récurrence sur le déterminant.
On raisonne par récurrence sur la taille du déterminant
n
{\displaystyle n}
.
Premièrement, faisons apparaître une ligne de
1
{\displaystyle 1}
en multipliant toutes les colonnes par
a
n
+
b
j
{\displaystyle a_{n}+b_{j}}
.
Par
n
{\displaystyle n}
-linéarité du déterminant,
D
n
=
1
∏
i
=
1
n
(
a
n
+
b
i
)
|
a
n
+
b
1
a
1
+
b
1
a
n
+
b
2
a
1
+
b
2
⋯
a
n
+
b
n
a
1
+
b
n
⋮
⋮
⋮
a
n
+
b
1
a
n
−
1
+
b
1
a
n
+
b
2
a
n
−
1
+
b
2
⋯
a
n
+
b
n
a
n
−
1
+
b
n
1
1
⋯
1
|
.
{\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\1&1&\cdots &1\end{vmatrix}}.}
Ensuite, pour faire apparaître des
0
{\displaystyle 0}
à la fin des
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
premières colonnes, soustrayons la dernière colonne à toutes les autres.
∀
(
i
,
j
)
∈
{
1
,
…
,
n
−
1
}
2
,
a
n
+
b
j
a
i
+
b
j
−
a
n
+
b
n
a
i
+
b
n
=
a
n
b
n
−
a
i
b
n
−
a
n
b
j
+
a
i
b
j
(
a
i
+
b
j
)
(
a
i
+
b
n
)
=
(
a
n
−
a
i
)
(
b
n
−
b
j
)
(
a
i
+
b
j
)
(
a
i
+
b
n
)
{\displaystyle \forall (i,j)\in \{1,\dots ,n-1\}^{2},\quad {\frac {a_{n}+b_{j}}{a_{i}+b_{j}}}-{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{i}+b_{n}}}={\frac {a_{n}b_{n}-a_{i}b_{n}-a_{n}b_{j}+a_{i}b_{j}}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}={\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{j})}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}}
D
n
=
1
∏
i
=
1
n
(
a
n
+
b
i
)
|
(
a
n
−
a
1
)
(
b
n
−
b
1
)
(
a
1
+
b
1
)
(
a
1
+
b
n
)
(
a
n
−
a
1
)
(
b
n
−
b
1
)
(
a
1
+
b
2
)
(
a
1
+
b
n
)
⋯
(
a
n
−
a
1
)
(
b
n
−
b
n
−
1
)
(
a
1
+
b
n
−
1
)
(
a
1
+
b
n
)
a
n
+
b
n
a
1
+
b
n
⋮
⋮
⋮
⋮
(
a
n
−
a
n
−
1
)
(
b
n
−
b
1
)
(
a
n
−
1
+
b
1
)
(
a
n
−
1
+
b
n
)
(
a
n
−
a
n
−
1
)
(
b
n
−
b
1
)
(
a
n
−
1
+
b
2
)
(
a
n
−
1
+
b
n
)
⋯
(
a
n
−
a
n
−
1
)
(
b
n
−
b
n
−
1
)
(
a
n
−
1
+
b
n
−
1
)
(
a
n
−
1
+
b
n
)
a
n
+
b
n
a
n
−
1
+
b
n
0
0
⋯
0
1
|
.
{\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{2})(a_{1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{1}+b_{n-1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{2})(a_{n-1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{n-1}+b_{n-1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.}
Factorisons par les termes communs aux lignes et aux colonnes.
D
n
=
∏
i
=
1
n
−
1
(
a
n
−
a
i
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
b
n
−
b
i
)
∏
i
=
1
n
(
a
n
+
b
i
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
a
i
+
b
n
)
|
1
a
1
+
b
1
1
a
1
+
b
2
⋯
1
a
1
+
b
n
−
1
★
⋮
⋮
⋮
⋮
1
a
n
−
1
+
b
1
1
a
n
−
1
+
b
2
⋯
1
a
n
−
1
+
b
n
−
1
★
0
0
⋯
0
1
|
.
{\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{n}-a_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(b_{n}-b_{i})}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{i}+b_{n})}}{\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{n-1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.}
Finalement, en développant par rapport à la dernière ligne on trouve la relation de récurrence:
D
n
=
1
a
n
+
b
n
(
∏
i
=
1
n
−
1
(
a
n
−
a
i
)
(
b
n
−
b
i
)
(
a
n
+
b
i
)
(
a
i
+
b
n
)
)
D
n
−
1
{\displaystyle D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}}
Comme
D
1
=
1
a
1
+
b
1
{\displaystyle D_{1}={\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}}
, on obtient par récurrence
D
n
=
∏
i
<
j
(
a
j
−
a
i
)
∏
i
<
j
(
b
j
−
b
i
)
∏
i
,
j
(
a
i
+
b
j
)
{\displaystyle D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}}
.