Cohésion des grains de sable

Un château de sable ne tient que s'il est fait de sable un peu humide. Ceci est l'effet de l’adhésion capillaire. La petite quantité d'eau présente entre deux grains de sable permet une attraction entre eux. Cet article rappelle le mécanisme de base de l'attraction et calcule quelle est la quantité minimium d'eau nécessaire à la tenue mécanique du château.

MécanismeModifier

L'attraction entre les deux grains de sable humides est due à la pression de Laplace. Si l'on regarde le joint entre deux grains de sable, le liquide forme un petit pont (pont capillaire) entre les deux grains.

 
Le liquide entre les deux grains de sable forme un pont capillaire.

L'interface entre le liquide et le grain est courbée avec un rayon de courbure  . En effet, la courbure est tournée vers l'extérieur, elle est donc négative. La pression de Laplace s'écrit    est la tension de surface entre le liquide et le solide.

La pression dans le liquide est donc plus faible que la pression atmosphérique. Cette différence de pression engendre une attraction entre les deux grains de sable ce qui tend à les maintenir ensemble.

Quantité d'eau nécessaire à la fabrication d'un château de sableModifier

L'adhésion capillaire est efficace lorsqu'il y a très peu d'eau entre chaque grain de sable. La suite de l'article propose de calculer approximativement quelle quantité de liquide est nécessaire pour que l'eau présente entre chaque grain permette une attraction capillaire suffisante pour compenser le poids d'un grain de sable.

Force d'attraction entre deux grainsModifier

Il s'agit ici de calculer la pression dans le pont capillaire et de comparer la force d'attraction au poids. Après calcul, on trouve que la force d'attraction est dix fois plus importante que le poids et permet donc de tenir les grains de sable entre eux.

 
Notations utilisées dans l'article.

Les notations utilisées sont celles de la figure ci-contre. Soient   l’angle que fait le liquide avec le grain de sable,   l’angle d’ouverture du ménisque et   la hauteur du ménisque. La pression dans le pont capillaire   est fonction de la quantité de liquide, donc des quantités   et  .

La figure ci-contre montre que  . Par ailleurs,  . Il suffit donc de lier l'angle   aux deux distances   et   pour avoir une expression de la pression dans le liquide  . Soit  , l'équation du grain de sable.   est la pente de cette droite au point   soit  . Dans le cadre d'une approximation parabolique,   s'écrit   d'où  . Et, finalement,    

La force d’adhésion entre les grains est due pression   qui s'applique sur la surface   soit  .

Un grain de sable a un rayon typique de  m ce qui donne, en ordre de grandeur,  m,  m.

Alors  


Si cette force est supérieure au poids d'un grain de sable, elle est suffisante pour assurer l'adhésion des grains. Soit   le volume d'un grain de sable et   la densité du sable, le poids d'un grain de sable est  N (en prenant une densité de 2 pour le sable).

La force capillaire est donc de l'ordre de dix fois le poids et la présence de l'eau empêche bien les grains de sable de se décoller.

Calcul de la quantité de liquide dans une tour de sableModifier

Pour fabriquer un tour de sable, il faut environ un litre de sable (un seau). Chaque grain est au contact de quelques autres (typiquement 5) par l'intermédiaire d'un pont capillaire. Le volume d'eau nécessaire peut être calculé en multipliant le volume d'un pont capillaire par le nombre total de contacts entre grains dans le château.

Le volume de liquide est le volume du cylindre de rayon   moins le volume du grain de sable sur la hauteur   soit   soit  

Pour qu'un litre de sable soit rendu cohésif, il faut que ce volume d'eau   soit présent entre chacun grain de sable. Si l'on considère qu'il y a environ   contacts entre deux grains de sable, et que la compacité   est de 60 % (ce qui est proche de l'empilement compact), on obtient :

  L.

Donc,   ml d'eau devrait être suffisant pour rendre cohésif un château de sable. Cela nécessite de mélanger parfaitement le sable et le liquide.

Articles connexesModifier