Coefficient constant

En mathématiques, le coefficient constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0. Autrement dit, en notant un polynôme sous sa forme développée et ordonnée par puissances croissantes :

Polynôme de coefficient constant 7.

alors son coefficient constant est l'élément , éventuellement nul.

Ce coefficient correspond à la valeur en 0 de la fonction polynomiale associée. En analyse réelle, il est donc aussi l'ordonnée à l'origine de sa courbe représentative.

PropriétésModifier

Si les coefficients du polynôme sont pris dans un anneau  , le coefficient constant est l'image du polynôme par le morphisme d'évaluation

 

défini comme l'unique morphisme de  -algèbre vérifiant l'égalité :

 

Par conséquent :

  • le coefficient constant d'un produit de polynômes est le produit de leurs coefficients constants ;
  • le coefficient constant d'une somme de polynômes est la somme de leurs coefficients constants ;

Ce morphisme se factorise par l'évaluation en zéro de l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients dans  . Il en découle que deux polynômes définissant la même fonction[1] ont nécessairement le même coefficient constant.

Cas particuliersModifier

Articles connexesModifier

Notes et référencesModifier

  1. Il n'y a pas unicité du polynôme antécédent lorsque l'anneau des coefficients est fini.
  2. Ce signe dépend de la convention choisie pour définir le polynôme caractéristique.