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En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformée de Laplace permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Certains ingénieurs emploient de préférence la transformation de « Laplace-Carson », une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : permet d'associer à toute fonction d'une variable dite « fonction origine » une « fonction image » . Ainsi la solution algébrique de l'équation image permet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

image de .

La transformation inverse est notée :

original de .

Transformations de baseModifier

Pour une constante « C »Modifier

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :

  est l'original de  ,
  est l'original de  ,
  est l'original de  ,
  est l'original de  .

Image d'une variable « t »Modifier

 

Pour  , on obtient l'image  .

Ainsi,

  est l'original de  ,
  est l'original de  ,
  est l'original de  .

D'une manière générale, par récurrence pour tout entier positif n, on obtient :   original de  .

Image de l'exponentielle de « at »Modifier

 

Si  , la parenthèse devient :

 , expression qui tend vers   lorsque   ; dans ce cas l'image de   est  .

Pour   réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :

Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
         
         
        -
         

Pour  

Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
        -
        -
    - - -

Si  , l'image de   est :  

Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
        -

Si  , la valeur de   est égale à zéro pour  , idem pour la valeur de la fonction image lorsque  .

Hypothèse fondamentaleModifier

L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de t négative. Bien que négligé la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction  , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de   est  .

 
Représentation de  .

L'échelon unitéModifier

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de t et égale à 1 pour toute valeur positive de t. Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

 
Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)Modifier

Considérons une fonction   telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

  •   pour   ;
  •   pour   ;
  •   pour  .
 
Représentation de la fonction  .

La fonction   a pour dérivée  , représentée ci-dessous, caractérisée par :

  •   pour   ;
  •   pour   ;
  •   pour  .

Quel que soit  , l'aire du rectangle est égal à l'unité.

 
Représentation de la fonction  .

Fonction de Dirac ou percussion-unitéModifier

Si l'on fait tendre   vers zéro,   tend vers   et   tend vers une fonction notée   qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité), caractérisée par deux valeurs :

  •   quel que soit t sauf pour   où la valeur de   devient infinie, et
  •  , quel que soit t0 ≤ 0 et t > 0.

Il vient alors :  

Image de l'impulsion de DiracModifier

L'image de l'impulsion de Dirac est la limite quand   tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :

 

Ce qui est égal à   qui tend vers 1 quand   tend vers zéro (règle de L'Hôpital, par exemple).

L'image de l'impulsion de Dirac d(t) est donc 1.

Transformation des dérivéesModifier

En dérivant une fonction d'origine :  ,

on trouve la dérivée de la fonction d'origine :  .

  est l'original de  .

On obtient donc :   est l'original de  .

Dériver une fonction d'origine revient donc à multiplier son image par  .

Formule de la translation à droiteModifier

 
Représentation de la translation d'une fonction d'une valeur   à droite.

Soit une fonction   à laquelle on fait subir une translation de la valeur   à droite et parallèlement à l'axe des   (voir représentations ci-dessus) de telle façon que :

  •   pour  , et
  •   pour  .

La forme d'origine est  . Son image est :

 .

En posant   on obtient :

 

Conclusion :

  • avec   :   est la fonction origine de  , avec  , et
  •   pour  .

Application aux équations différentielles linéairesModifier

Ainsi à l'équation différentielle :

 
avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en  ,

correspond une équation algébrique image de   :

 

BibliographieModifier

N. Piskounov, Calcul différentiel et intégral, t. 2, Ellipses, , 12e éd. (1re éd. 1969, Mir) (lire en ligne), chap. XIX.13 (« Théorème de convolution »), p. 464-466