Blossoming

Dans la Modélisation géométrique, le principe du Blossoming établit un lien entre les points d'une courbe et ses points des contrôle. Il était découvert en 1984 par Paul de Casteljau et publié par Lyle Ramshaw en 1987. Dans le cas d'arguments identiques (appelé la diagonale), le blossom (où floraison) détermine le point d'une courbe, dans le cas d'arguments consécutifs, un point de contrôle de cette courbe. En particulier, le blossoming relie les théories des courbes de Bézier et des courbes et surfaces B-spline, c'est-à-dire l'algorithme de Casteljau et l'algorithme de Boor.


Théorie généraleModifier

En mathématiques, particulièrement en Conception et fabrication assistées par ordinateur, on désigne comme Blossom   du polynôme   une fonction avec   arguments, définie par trois propriétés:

  • Elle est symétrique dans ses arguments:
 
(où   est une permutation arbitraire de ses arguments).
  • Elle est multi-affine, donc affine dans chacun de ses arguments:
 
  • Elle satisfait à la propriété de la diagonale:
 

CalculModifier

Comme toute polynôme symétrique rationelle se trouve dans   peut être écrit comme un polynôme symétrique élémentaire

 
 
 
 

nous pouvons algébriquement trouver le blossom du polynôme

 

comme

 

ExempleModifier

Le blossom d'un polynôme quartique

 

est le polynôme symétrique et 4-affine

 

ApplicationsModifier

Blossoming d'une Courbe de BézierModifier

 
Algorithme de de Casteljau pour une courbe de Bézier du 3e degré

L'exemple d'une courbe de Bézier de degré   montre clairement, comment le blossoming permet de déterminer à la fois les points de la courbe (dans l'image   et  ) et les points de contrôle (dans l'image   et  )


Le Blossom de la courbe de Bézier

 

est le polynôme symétrique et tri-affine

 

Si nous insérons des valeurs spéciales pour  , on obtient

 


Plus encore, nous pouvons également calculer directement les points intermédiaires de l'algorithme de Casteljau sous forme de

 

Blossoming d'une SplineModifier

Nous assemblons des courbes polynomiales par morceaux pour obtenir la courbe Spline.

 

avec B-splines   . Si l'on met bout à bout les intervalles de paramètres sous-jacents, on obtient une séquence de nœuds  . Le blossoming sur les sous-intervalles conduit aux courbes de Bézier respectives ou aux points de contrôle de l'algorithme de Casteljau, soit par exemple

 


Le blossoming au-delà des sous-intervalles conduit aux points de contrôle de l'algorithme de de Boor:

 

Blossom et OsculanteModifier

Pour une courbe polynomiale   de degré n, nous définissons

 

comme la première osculante de   au nœud  . C'est une courbe polynomiale de degré   en   et n'a en commun avec   que le point   où les courbes ont un contact d'ordre  .


Pour  , il est possible de déterminer une nouvelle osculante au nœud  . C'est la deuxième oscillante de   aux nœuds   et   :

 

Propriétés des OsculantesModifier

Les Osculantes possèdent les propriétés suivantes:

  • Elles sont symétriques dans les nœuds:
 
  • Elles sont affines dans les nœuds: De   découle
 
  • Leur diagonale est identique à la courbe:
 

Les osculants ont été introduits en 1886 par Stanislaus Jolles dans sa thèse d'habilitation. Dans le cas paramétrique, ils sont identiques aux blossoms de de Casteljau et Ramshaw et peuvent être facilement déduits par blossoming : Pour une courbe de Bézier cubique avec les points de contrôle  , l'osculante au nœud   est définie par les points de contrôle de Bézier suivants :  .


RéférencesModifier

  • Stanislaus Jolles, Die Theorie der Osculanten und das Sehnensystem der Raumcurve IV. Ordnung II. Species; Ein Beitrag zur Theorie der rationalen Ebenenbüschel, Aachen, J. A. Mayer,
  • Paul de Casteljau, Formes à Pôles, Hermès, coll. « Mathématiques et CAO »,
  • Paul de Casteljau, Mathematical methods in computer aided geometric design II, Academic Press Professional, Inc., (ISBN 978-0-12-460510-7), « POLynomials, POLar Forms, and InterPOLation »
  • Lyle Ramshaw, Blossoming: A Connect-the-Dots Approach to Splines, Digital Systems Research Center,
  • Lyle Ramshaw, Blossoms are polar forms, Digital Systems Research Center,
  • Gerald Farin, Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, Morgan Kaufmann, , 5e éd. (ISBN 1-55860-737-4)
  • Marie-Laurence Mazure, Blossoming stories, Numerical Algorithms, , p. 257-288