En mathématiques, l'argument du maximum, noté arg max ou argmax, est l'ensemble des points en lesquels une expression atteint sa valeur maximale.

DéfinitionModifier

Pour une fonction  , avec   un ensemble totalement ordonné, l'arg max de   est défini par :

 

c'est-à-dire que   est l'ensemble des valeurs   pour lesquelles   atteint son maximum en  . De manière équivalente,   est l'ensemble de niveau du maximum de   :

 

On peut aussi trouver la notation  .

Si   est une partie de   alors l'arg max de la restriction de   à  ,  , peut être noté

 

Sa valeur est

 

Par exemple, si   est  , alors elle atteint sa valeur maximum pour   seulement et son arg max est  .

Nous avons aussi

 

car le maximum de   est  , et cette valeur est atteinte sur l'intervalle   quand  ,   ou  .

Si le maximum est atteint en un seul point, alors par souci de simplification, on peut aussi désigner ce point comme l'arg max et on pourra utiliser le point ou le singleton selon le contexte. Par exemple, le seul maximum de   est  , atteint uniquement pour  , d'où

  dans un contexte de nombres

et

  dans un contexte d'ensembles.

Arg minModifier

arg min (ou argmin) est défini de manière analogue (en remplaçant «max» par «min» et   par  ): pour une fonction  , avec   un ensemble totalement ordonné, l'arg min est défini par

 

Voir aussiModifier

Crédit d'auteursModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arg max » (voir la liste des auteurs).