Dans le domaine des mathématiques en théorie des anneaux, un anneau d'Ore est un anneau qui admet un corps de fractions.

Pour un anneau commutatif, cette notion est équivalente à la condition que l'anneau soit sans diviseur de zéro (et donc nul ou intègre). Dans le cas général, cette condition reste nécessaire, mais n'est plus suffisante. Il faut adjoindre une condition supplémentaire, la condition d'Ore, introduite par le mathématicien norvégien Øystein Ore[1] en 1931.

On distingue les anneaux d'Ore à gauche, à droite et bilatères. Les premiers admettent un corps de fractions à gauche, les seconds un corps de fractions à droite, les troisièmes un corps de fractions à gauche et un corps de fractions à droite, qui coïncident. En l'absence de précision supplémentaire, « anneau d'Ore » signifie anneau d'Ore bilatère.

La condition d'Ore modifier

Cas des anneaux modifier

Soit   un anneau sans diviseur de zéro. Il s'agit d'un anneau d'Ore à droite s'il satisfait la condition d'Ore à droite:

  pour tous  

  et   sont des idéaux principaux à droite de   et où   désigne l'ensemble des éléments non nuls de  . On définit de même un anneau d'Ore à gauche (en considérant l'intersection d'idéaux principaux à gauche), et comme il a été dit plus haut un anneau d'Ore (sans précision) est bilatère, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un anneau d'Ore à droite qui est également un anneau d'Ore à gauche.

Un anneau d'Ore permet de construire des fractions de manière cohérente. Une fraction à droite est un élément de la forme  . La condition d'Ore à droite permet de réduire un nombre fini de termes de cette forme au même dénominateur à droite. On définit de manière analogue les fractions à gauche, et la condition d'Ore en garantit la cohérence algébrique.

Cas des sous-ensembles multiplicatifs modifier

La construction ci-dessus peut être définie de manière plus générale sur tout sous-ensemble multiplicatif, c'est-à-dire un ensemble   tel que pour tous  , on a  . Soit   un anneau et   un sous-ensemble multiplicatif de  . On dit que   est un ensemble de dénominateurs à droite si pour tous   on a :

  •  
  • Si   alors il existe   tel que  .

On peut alors construire l'anneau des fractions à droite  , qui généralise la notion de localisation aux anneaux non commutatifs. Il existe en fait plusieurs manières de construire une telle localisation (monoïdale, géométrique ou rationnelle) selon le choix de  .

Si on pose   alors S est un ensemble de dénominateurs à droite si et seulement si   est un anneau d'Ore à droite[2].

Généralisation modifier

La condition d'Ore se généralise en théorie des catégories de la manière suivante. On dit qu'une catégorie   satisfait la condition d'Ore si pour tout diagramme

 
d'objets, il existe un objet   et deux morphismes tels que le diagramme suivant commute :
 
La condition d'Ore est une condition plus faible que l'existence de tirés en arrière, de sorte que toute catégorie possédant des tirés en arrière est d'Ore. Si la catégorie duale est d'Ore, alors la catégorie considérée a la propriété d'amalgamation. En général, satisfaire la condition d'Ore est nécessaire, mais n'est pas suffisant pour construire une catégorie des fractions[3].

Propriétés modifier

Modules sur les anneaux d'Ore modifier

La notion d'élément de torsion se définit sans difficulté sur un anneau intègre : soit   un anneau intègre et   un  -module à gauche. Un élément   est de torsion s'il existe   tel que  .

Si   est un anneau d'Ore à gauche, l'ensemble des éléments de torsion de   est un sous-module de  , noté  . En désignant par   le corps des fractions à gauche de   (  est un  -module à droite), alors   est le noyau de l'application canonique  .

Cette application est donc injective si et seulement si   est sans torsion, c'est-à-dire  . La dimension du  -espace vectoriel   est appelée le rang de  . Si   est un anneau d'Ore, alors le  -module   est plat[4].

D'autre part, si   est un anneau d'Ore, un  -module de type fini est sans torsion si, et seulement s'il peut être plongé dans un module libre de type fini[5].

Notes et références modifier

  1. (en) Øystein Ore, « Linear equations in non-commutative fields », Ann. Math., vol. 32,‎ , p. 463-477.
  2. (en) Tsit Yuen Lam, Lectures on modules and rings, Springer, , 557 p. (ISBN 978-0-387-98428-5, OCLC 38992957, lire en ligne)
  3. (en-GB) Peter Gabriel et Michel Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory | SpringerLink, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, , X, 168 (ISBN 978-3-642-85846-8, DOI 10.1007/978-3-642-85844-4, lire en ligne), Chapitre 1
  4. (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations, Londres, Academic Press Press, , 2e éd., 595 p. (ISBN 978-0-12-179152-0, BNF 37359190).
  5. (en) Enzo R. Gentile, « On Rings with One-Sided Field of Quotients », Proc. American Math. Society, vol. 11, no 13,‎ , p. 380-384 (lire en ligne).