22 / 7 dépasse π
Les démonstrations du célèbre résultat mathématique selon lequel le nombre rationnel 22/7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de « l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π[1] ». Julian Havil (de) met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte[2].
Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22/7 est en effet plus grand que π ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22/7 > π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.
Motivation
modifierUne approximation diophantienne simple et courante de la valeur de π est 227. En effet, on peut voir que :
Archimède avait démontré que 227 surestimait π au cours de IIIe siècle av. J.-C. mais utilisait cette approximation[3].
Une meilleure approximation rationnelle de π est donnée par 355113 (approximation appelée Milü (en)).
Démonstration
modifierUne démonstration moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale
Le nombre est strictement positif car la fonction est continue et strictement positive sur l'intervalle ]0 ; 1[.
Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :
(développement du numérateur) (par décomposition en éléments simples de l'intégrande) (intégration définie) (addition)
Dalzell[4] donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi
ce qui donne après calcul
Notes et références
modifier- (en) Stephen K. Lucas, « Integral proofs that 355/113 > π », Australian Mathematical Society Gazette, vol. 32, no 4, , p. 263-266 (lire en ligne).
- (en) Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant, Princeton, Princeton University Press, , 266 p. (ISBN 978-0-691-09983-5, LCCN 2002192453), p. 96.
- (en) Archimède et Thomas Heath (dir.), The Works of Archimedes, Dover Publications, (1re éd. 1897) (ISBN 0-486-42084-1, lire en ligne), « Measurement of a circle », p. 93-96.
- (en) D. P. Dalzell, « On 22/7 », Journal of the London Mathematical Society, vol. 19, , p. 133-134 (DOI 10.1112/jlms/19.75_Part_3.133).