Théorème de Stampacchia

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Énoncé

Soient

• ${\mathcal {H}}$ un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté $\langle .,.\rangle$ (la norme induite étant notée $\|u\|=\langle u,u\rangle ^{1/2}$).
• $K~$ une partie convexe fermée non vide de ${\mathcal {H}}$
• $a(.\ ,.)~$ une forme bilinéaire qui soit
  • continue sur ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ : $\exists \,c>0\quad \forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad \|a(u,v)\|\leq c\|u\|\|v\|\quad$
  • coercive sur ${\mathcal {H}}$ : $\exists \,\alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad \ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}\quad$
• $L(.)~$ une forme linéaire continue sur ${\mathcal {H}}$

Sous ces conditions, il existe un unique $u$ de $K$ tel que

$(1)\quad \forall \ v\in K\quad a(u,v-u)\geq L(v-u)\quad$

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors ce même $u$ est l'unique élément de $K$ qui minimise la fonctionnelle $I:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ définie par $I(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v~$ de $K~$, en particulier :

$(2)\quad \exists !\ u\in K\quad I(u)=\min _{v\in K}I(v)$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in {\mathcal {H}}$ tel que

$\forall v\in {\mathcal {H}},\quad Lv=\langle f,v\rangle .$

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ tel que

$\forall u,v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle .$

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

$\qquad (3)\quad \forall \ u\in {\mathcal {H}}\quad \|A(u)\|\leq c\|u\|$

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

$\exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0$

Pour tout réel $r$ strictement positif, c'est également équivalent à

$\exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0$

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

$\exists !\,u\in K\quad u=p_{K}(rf-rA(u)+u)$

où $p_{K}$ est l'opérateur de projection sur $K$. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain $r>0$, il existe un unique $u\in K$ qui vérifie l'équation de point fixe $u=P_{r}(u)$ où l'application $P_{r}:K\rightarrow K$ est définie par $P_{r}(v)=p_{K}{\big (}rf-rA(v)+v{\big )}$.

Pour cela, choisissons $r$ de telle façon que $P_{r}$ soit une application contractante. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K$. Comme l'opérateur de projection $p_{K}$ est 1-lipschitzien, on a

$\|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|\leq \|x-y-rA(x-y)\|$

D'où

$\|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|^{2}\leq \|x-y\|^{2}+r^{2}\|A(x-y)\|^{2}-2r\langle x-y,A(x-y)\rangle$

Comme la forme bilinéaire $a$ est coercive, on a $\langle A(x-y),x-y\rangle =a(x-y,x-y)\geq \alpha \|x-y\|^{2}$. Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité $\|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|$. Par conséquent,

$\|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|^{2}\leq {\big (}1+r^{2}c^{2}-2r\alpha {\big )}\|x-y\|^{2}$

L'application $P_{r}$ est contractante dès que $1+r^{2}c^{2}-2r\alpha <1$, c'est-à-dire si on a $0<r<2\alpha /c^{2}$. En choisissant un tel $r$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u\in K$ tel que $u=p_{K}{\big (}rf-rA(u)+u{\big )}$, ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur ${\mathcal {H}}$. La coercivité implique que $a$ est définie et positive. On note par $\langle .,.\rangle _{a}$ ce produit scalaire qui est défini par :

$\forall x,y\in {\mathcal {H}}\quad \langle x,y\rangle _{a}=a(x,y)$

Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in {\mathcal {H}}$ tel que $L(v)=\langle f,v\rangle _{a}$ pour tout $v\in {\mathcal {H}}$.

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

$\exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-u,v-u\rangle _{a}\leq 0$

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

$\exists !\,u\in K\quad u=p_{K}^{a}(f)$

où $p_{K}^{a}$ est l'opérateur de projection sur $K$ utilisant le produit scalaire défini par $a$. La relation (1) est donc équivalente à :

$\langle f-u,f-u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle _{a}$

soit encore

$\langle u,u\rangle _{a}-2\langle f,u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\left(\langle v,v\rangle _{a}-2\langle f,v\rangle _{a}\right)$

ou bien

${\frac {1}{2}}a(u,u)-L(u)=\min _{v\in K}\left({\frac {1}{2}}a(v,v)-L(v)\right)$,

ce qui conclut la démonstration.

Applications

• Ce théorème sert notamment en mécanique où $I$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
• Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de formulations faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
• Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]