Rosace (mathématiques)

En mathématiques, une rosace, ou rhodonea est une courbe plane obtenue en traçant une sinusoïde en coordonnées polaires.

Courbe définie par r = cos kθ, pour différentes valeurs de k = n/d.

Généralités

À une similitude près, ces courbes sont définies par une équation polaire de la forme :

$\!\,r=\cos(k\theta )$

ou sous forme paramétrique par les fonctions :

$\!\,x=\cos(k\theta )\sin(\theta )$

$\!\,y=\cos(k\theta )\cos(\theta )$

k étant un nombre réel :

• si k est rationnel, alors la courbe est fermée et de longueur finie ; Dans ce cas et en considérant $k=p/q$, la courbe se fermera lorsque l'angle polaire $\theta =\pi qm$ ;
  • Avec $m=1$ si $pq$ est impair.
  • Avec $m=2$ si $pq$ est pair.
• si k est irrationnel, alors la courbe n'est pas fermée et sa longueur est infinie.

La rosace aura :

• k pétales si k est un entier impair, car la courbe est entièrement tracée quand θ varie de 0 à π (quand θ varie de π à 2π, la courbe repasse par les points déjà tracés) ;
• 2k pétales si k est un entier pair, car la courbe est tracée exactement une fois quand θ varie de 0 à 2π.
• 4k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 2 (exemples : 1/2, 5/2) ;
• 12k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 6 et supérieure à 1 (exemples : 7/6, 17/6).

• Rosaces
• 
  à 7 pétales (k=7)
• 
  à 8 pétales (k=4)
• 
  à 20 pétales (k=10)

Si k est une fraction irréductible de dénominateur 3 et supérieure à 1, la rosace aura :

• 3k pétales si son numérateur est impair (exemples : 5/3 et 7/3) ;
• 6k pétales si son numérateur est pair (exemples : 4/3 et 8/3).

Le terme rhodonea a été choisi par le mathématicien italien Luigi Guido Grandi entre 1723 et 1728.

Aire

Une rosace dont l'équation polaire est de la forme

$r=a\cos(k\theta )$

où k est un entier positif, a une aire égale à

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,{\rm {d}}\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}$

si k est pair et

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,{\rm {d}}\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}$

si k est impair.

Le même principe s'applique aux rosaces d'équation polaire de la forme :

$r=a\sin(k\theta )$

puisque leurs graphes ne sont que des images par rotation des rosaces définies en utilisant le cosinus.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rose (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Courbe de Lissajous
• Quadrifolium - une rosace avec k = 2.
• Rosace (topologie) (en)
• Les inverses des rosaces : les épis.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Rose », sur MathWorld
• Rosaces sur Mathcurve