Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Si est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires vérifient l'équation :
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On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :
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Si , on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle .
Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle à l'angle .
On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe , obtenue par rotation de θ à partir de la base . Ainsi
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On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.
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Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.
Par définition même des coordonnées polaires,
est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que et ainsi
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Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.
Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à . Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle entre le vecteur et le vecteur tangent vérifie donc :
Si la fonction est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité . L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.
Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :