Radical imbriqué

En mathématiques, en particulier en algèbre, les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.

Par exemple ${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ qui apparaît dans l'étude du pentagone régulier, ou d'autres plus complexes telles que ${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}}}$.

Désimbrication de radicaux

Problème général

On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}$.

Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.

Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués.

Un cas simple

Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :

${\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}=1+{\sqrt {2}}$ ;

${\sqrt {5-{\sqrt {24}}}}={\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}$ ;

${\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}$.

Si a et b sont des rationnels positifs tels que √b soit irrationnel et inférieur à a, pour pouvoir mettre

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}\quad$ou$\quad {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}$

sous la forme

${\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}}\quad (c,d\in \mathbb {Q} _{+},~c\geqslant d,~\varepsilon =\pm 1),$

il faut et il suffit que le nombre

$R={\sqrt {a^{2}-b}}$

soit rationnel. La solution est alors :

${\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}\pm {\sqrt {d}}$

avec

$c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.$

Démonstration

Supposons

$a,b,c,d\in \mathbb {Q} _{+},~\varepsilon ,\varepsilon '=\pm 1,~a\geqslant {\sqrt {b}},~c\geqslant d,~{\text{et}}~{\sqrt {b}}\notin \mathbb {Q} ~;$

Si

${\sqrt {a+\varepsilon '{\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}},$

alors

$a+\varepsilon '{\sqrt {b}}=c+d+2\varepsilon {\sqrt {cd}},$

donc (en prenant le conjugué)

$a-\varepsilon '{\sqrt {b}}=c+d-2\varepsilon {\sqrt {cd}},$

si bien que

$R={\sqrt {a^{2}-b}}=c-d\in \mathbb {Q} ,~c+d=a,~\varepsilon =\varepsilon ',$

$c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.$

La vérification de la réciproque est immédiate.

Quelques identités de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes :

${\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}$,

${\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1}{3}}$,

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}}$,

${\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}$.

Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :

${\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}+{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}$,

${\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}-{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}$.

Algorithme de Landau

En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés. Des algorithmes antérieurs ont fonctionné dans certains cas, mais pas dans d'autres.^[évasif] L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué .

En trigonométrie

Les sinus, cosinus et tangente d'un multiple rationnel θ de π s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si θ/π s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2.

Par exemple :

• $\varphi (60)=2^{4}\quad {\text{et}}\quad \cos {\frac {7\pi }{60}}={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}$ ;
• $\varphi (24)=2^{3}\quad {\text{et}}\quad \sin {\frac {\pi }{24}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}$.

Imbrication infinie de radicaux

Racine carrée

Pour tous réel r, s > 0, on démontre que la suite récurrente (u_n) définie par

$u_{0}=0$ et $u_{n+1}={\sqrt {r+su_{n}}}$

est strictement croissante et converge vers la solution de x = √r + sx, c'est-à-dire la racine positive s + √s² + 4r/2 de l'équation du second degré x² – sx – r = 0, ce qui constitue une définition du nombre

${\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+\cdots }}}}}}}}$.

Par exemple :

${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}=2$.

ou encore :

${\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$ (voir nombre d‘or)

et plus généralement :

${\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}=\varphi _{p}$, p-ième nombre métallique, nombre d'argent pour p = 2.

De même, pour tous réels r, s > 0 tels que r > s²,

${\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-\cdots }}}}}}}}$,

défini comme limite d'une suite, est la racine positive –s + √s² + 4r/2 de l'équation x² + sx – r = 0.

Par exemple :

${\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-\cdots }}}}}}}}=1$.

Radicaux infinis de Ramanujan

Ramanujan a posé le problème suivant au Journal of the Indian Mathematical Society :

Trouver la valeur de ${\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$ et de ${\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\cdots }}}}}}$

et l'a résolu ainsi :

Pour p = 2 ou p = 3, posons $f_{p}(n)=n(n+p)$. Alors, $f_{p}(n)=n{\sqrt {a_{p}n+b_{p}+f_{p}(n+1)}}$, avec $a_{p}$ et $b_{p}$ choisis de telle façon que

$(n+p)^{2}=(n+1)(n+1+p)+a_{p}n+b_{p}$ (c.-à-d. $a_{p}=p-2$ et $b_{p}=p^{2}-p-1$) donc

$n+p={\sqrt {a_{p}n+b_{p}+(n+1){\sqrt {a_{p}(n+1)+b_{p}+(n+2){\sqrt {a_{p}(n+2)+b_{p}+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}$.

(la convergence, pour tous réels p ≥ 2 et n ≥ 0, est justifiée par un théorème ultérieur dû à Tirukkannapuram Vijayaraghavan). En particulier :

$n+2={\sqrt {1+(n+1){\sqrt {1+(n+2){\sqrt {1+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}$, d'où ${\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dots }}}}}}=3$ ;

$n+3={\sqrt {n+5+(n+1){\sqrt {n+6+(n+2){\sqrt {n+7+\dots }}}}}}$, d'où ${\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\dots }}}}}}=4$.

Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par Herschfeld :

Pour tous réels s_i ≥ 1 tels que la série $\sum _{n\geq 1}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {1}{s_{i}}}$ converge et pour tous réels positifs a_i, le radical imbriqué ${\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+{\sqrt[{s_{3}}]{a_{3}+\cdots }}}}}}$ converge si et seulement si la suite $\left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)$ est majorée.

Herschfeld donne comme exemple introductif s_i = 2, a_i = i et calcule : ${\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+\dots }}}}}}\approx 1{,}757933$ , voir la suite A072449 de l'OEIS.

Ramanujan a résolu dans son Cahier perdu le radical infini suivant où le schéma périodique des signes est (+, +, –, +) :

${\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}$ (voir la suite A286984 de l'OEIS).

Expression de Viète pour π

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$.

Racine cubique

Pour tous réels r, s > 0, par la même méthode que ci-dessus pour les racines carrées, on définit le nombre

${\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+\cdots }}}}}}}}$

comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'équation cubique x³ − sx − r = 0.

Par exemple :

${\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}}=\psi$, nombre plastique.

De même, pour tous réels r, s > 0 tels que r² > s³,

${\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-\cdots }}}}}}}}$

est la racine réelle de x³ + sx − r = 0.

Racine n-ième

• ${\sqrt[{n-1}]{x}}={\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x\dots }}}}}}$ pour tout entier n ≥ 2
• ${\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-\cdots }}}}}}}}=1$ pour tout entier n ≥ 2

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nested radical » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Constante de récurrence quadratique de Somos (en)
• Méthode de Cardan
• Somme de radicaux

Bibliographie

• (en) Allan Borodin, Ronald Fagin, John E. Hopcrofts et Martin Tompa, « Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots », J. Symbolic Computation, vol. 1,‎ 1985, p. 169-188 (DOI 10.1016/S0747-7171(85)80013-4)
• (en) David J. Jeffrey et Albert D. Rich, « Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting », dans Michael Wester, Computer Algebra Systems: A Practical Guide, Wiley, 1999 (lire en ligne)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « SquareRoot », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Nested Radical », sur MathWorld