Produit tensoriel (graphe)

Le produit tensoriel est une opération sur deux graphes $G$ et $H$ résultant en un graphe $G\times H$. Il est également appelé produit direct, produit de Kronecker ou produit catégorique.

Produit tensoriel de deux graphes.

Construction

Soient deux graphes $G$ et $H$. Le produit tensoriel $G\times H$ est défini comme suit :

• l'ensemble de ses sommets est le produit cartésien $V(G)\times V(H)$ ;
• $(g,h)$ et $(g',h')$ sont adjacents dans $G\times H$ si et seulement si $g$ et $g'$ sont adjacents dans $G$ et $h$ et $h'$ sont adjacents dans $H$. Autrement dit, deux sommets sont voisins si les sommets dont ils sont issus étaient voisins dans les deux graphes.

Propriétés

• La matrice d'adjacence de $G\times H$ est le produit de Kronecker des matrices d'adjacence de $G$ et $H$.
• La conjecture d'Hedetniemi (en) concernait le nombre chromatique du produit tensoriel de deux graphes : $\chi (G\times H)\;{\overset {?}{=}}\;\min\{\chi (G),\chi (H)\}$. Elle est cependant réfutée en 2019 par Yaroslav Shitov qui montre qu'il est possible d'avoir $\chi (G\times H)<\min\{\chi (G),\chi (H)\}$.