Définition formelle
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Soient A une matrice de taille m x n et B une matrice de taille p x q . Leur produit tensoriel est la matrice A ⊗ B mp par nq , définie par blocs successifs de taille p x q , le bloc d'indice i ,j valant a i ,j B
En d'autres termes
A
⊗
B
=
(
a
11
B
⋯
a
1
n
B
⋮
⋱
⋮
a
m
1
B
⋯
a
m
n
B
)
{\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}}
Ou encore, en détaillant les coefficients,
A
⊗
B
=
(
a
11
b
11
a
11
b
12
⋯
a
11
b
1
q
⋯
⋯
a
1
n
b
11
a
1
n
b
12
⋯
a
1
n
b
1
q
a
11
b
21
a
11
b
22
⋯
a
11
b
2
q
⋯
⋯
a
1
n
b
21
a
1
n
b
22
⋯
a
1
n
b
2
q
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
11
b
p
1
a
11
b
p
2
⋯
a
11
b
p
q
⋯
⋯
a
1
n
b
p
1
a
1
n
b
p
2
⋯
a
1
n
b
p
q
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
a
m
1
b
11
a
m
1
b
12
⋯
a
m
1
b
1
q
⋯
⋯
a
m
n
b
11
a
m
n
b
12
⋯
a
m
n
b
1
q
a
m
1
b
21
a
m
1
b
22
⋯
a
m
1
b
2
q
⋯
⋯
a
m
n
b
21
a
m
n
b
22
⋯
a
m
n
b
2
q
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
b
p
1
a
m
1
b
p
2
⋯
a
m
1
b
p
q
⋯
⋯
a
m
n
b
p
1
a
m
n
b
p
2
⋯
a
m
n
b
p
q
)
{\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{pmatrix}}}
Comme le montre l'exemple ci-dessous, le produit de Kronecker de deux matrices consiste à recopier plusieurs fois la deuxième matrice, en la multipliant par le coefficient correspondant à un terme de la première matrice.
(
1
3
2
1
0
0
1
2
2
)
⊗
(
0
5
5
0
1
1
)
=
(
1
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
3
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
2
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
1
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
0
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
0
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
1
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
2
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
2
⋅
(
0
5
5
0
1
1
)
)
=
(
0
5
0
15
0
10
5
0
15
0
10
0
1
1
3
3
2
2
0
5
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
5
0
10
0
10
5
0
10
0
10
0
1
1
2
2
2
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}}
Bilinéarité, associativité
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Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour A , B et C , on a les équations suivantes :
A
⊗
(
B
+
λ
⋅
C
)
=
(
A
⊗
B
)
+
λ
(
A
⊗
C
)
{\displaystyle A\otimes (B+\lambda \ \cdot C)=(A\otimes B)+\lambda (A\otimes C)}
(
A
+
λ
⋅
B
)
⊗
C
=
(
A
⊗
C
)
+
λ
(
B
⊗
C
)
{\displaystyle (A+\lambda \ \cdot B)\otimes C=(A\otimes C)+\lambda (B\otimes C)}
A
⊗
(
B
⊗
C
)
=
(
A
⊗
B
)
⊗
C
{\displaystyle A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C}
Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant pour toutes A et B il existe deux matrices de permutation P et Q telles que A ⊗ B = P (B ⊗ A ) Q A et B sont carrées et de même taille, alors A ⊗ B B ⊗ A semblables par permutation sur les vecteurs de la base :
A
⊗
B
=
P
−
1
(
B
⊗
A
)
P
=
t
P
(
B
⊗
A
)
P
{\displaystyle A\otimes B=P^{-1}(B\otimes A)P={}^{t}\!P(B\otimes A)P}
où P est une matrice de permutation.
Propriétés sur le produit usuel
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La propriété suivante mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker lorsque les tailles des matrices sont telles qu'il est possible de former les produits AC et BD :
(
A
⊗
B
)
(
C
⊗
D
)
=
(
A
C
)
⊗
(
B
D
)
{\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)}
On peut en déduire que A ⊗ B inversible si et seulement si A et B sont inversibles, auquel cas :
(
A
⊗
B
)
−
1
=
A
−
1
⊗
B
−
1
{\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}}
En utilisant la propriété précédente on déduit que si X et Y sont des vecteurs propres de A et B :
A
X
=
λ
X
{\displaystyle AX=\lambda \ X}
B
Y
=
μ
Y
{\displaystyle BY=\mu \ Y}
(
A
⊗
B
)
(
X
⊗
Y
)
=
λ
μ
(
X
⊗
Y
)
{\displaystyle (A\otimes B)(X\otimes Y)=\lambda \mu (X\otimes Y)}
Donc si
λ
1
,
.
.
.
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}
μ
1
,
.
.
.
,
μ
m
{\displaystyle \mu _{1},...,\mu _{m}}
A et B , alors
{
λ
i
⋅
μ
j
,
i
=
1...
n
,
j
=
1...
m
}
{\displaystyle \lbrace \lambda _{i}\cdot \mu _{j},i=1...n,j=1...m\rbrace }
A ⊗ B
En particulier :
Tr
(
A
⊗
B
)
=
Tr
(
A
)
Tr
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {Tr} (A\otimes B)=\operatorname {Tr} (A)\operatorname {Tr} (B)}
det
(
A
⊗
B
)
=
det
(
A
)
m
det
(
B
)
n
{\displaystyle \operatorname {det} (A\otimes B)=\operatorname {det} (A)^{m}\operatorname {det} (B)^{n}}
rg
(
A
⊗
B
)
=
rg
(
A
)
rg
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {rg} (A\otimes B)=\operatorname {rg} (A)\operatorname {rg} (B)}
où Tr désigne la trace , det le déterminant et rg le rang de la matrice.
On a la propriété suivante sur la transposée :
t
(
A
⊗
B
)
=
t
A
⊗
t
B
{\displaystyle {}^{t}\!(A\otimes B)={}^{t}\!A\otimes {}^{t}\!B}
