Polynôme de Neumann

En mathématiques, les polynômes de Neumann, introduits par Carl Neumann pour le cas particulier $\alpha =0$, sont une suite de polynômes dans $1/t$ utilisé pour le développement de fonctions en termes de fonctions de Bessel.

Les premiers polynômes sont

$O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}},$

$O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}},$

$O_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}},$

$O_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}},$

$O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.$

Une forme généralisée du polynôme est

$O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k},$

et ils ont comme "fonction génératrice"

${\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),$

où J désignent les fonctions de Bessel de première espèce.

Approximation par une série de Fourier-Bessel

Pour développer une fonction f sous la forme

$f(z)=\sum _{n=0}a_{n}J_{\alpha +n}(z)\,$

pour $|z|<c$, on calcule

$a_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f(z)O_{n}^{(\alpha )}(z)\,\mathrm {d} z,$

où $c'<c$ et c est la distance entre la singularité la plus proche de $z^{-\alpha }f(z)$ et $z=0$.

Exemples

Un exemple est le prolongement

$\left({\frac {1}{2}}z\right)^{s}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}(-1)^{k}J_{s+2k}(z)(s+2k){-s \choose k},$

ou la formule de Sonine (en) plus générale

${\mathrm {e} }^{\mathrm {i} \gamma z}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}{\mathrm {i} }^{k}C_{k}^{(s)}(\gamma )(s+k){\frac {J_{s+k}(z)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{s}}}.$

où $C_{k}^{(s)}$ est le polynôme de Gegenbauer. Alors,^{[réf. nécessaire][Interprétation personnelle ?]}

${\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k}}{(2k-1)!}}J_{s}(z)=\sum _{i=k}(-1)^{i-k}{i+k-1 \choose 2k-1}{i+k+s-1 \choose 2k-1}(s+2i)J_{s+2i}(z),$

$\sum _{n=0}t^{n}J_{s+n}(z)={\frac {{\mathrm {e} }^{\frac {tz}{2}}}{t^{s}}}\sum _{j=0}{\frac {\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma \left(j+s,{\frac {tz}{2}}\right)}{\,\Gamma (j+s)}}=\int _{0}^{\infty }{\mathrm {e} }^{-{\frac {zx^{2}}{2t}}}{\frac {zx}{t}}{\frac {J_{s}(z{\sqrt {1-x^{2}}})}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{s}}}\,\mathrm {d} x,$

la fonction hypergéométrique confluente

$M(a,s,z)=\Gamma (s)\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{t}}\right)^{k}L_{k}^{(-a-k)}(t){\frac {J_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt {tz}})^{s-k-1}}},$

et en particulier

${\frac {J_{s}(2z)}{z^{s}}}={\frac {4^{s}\Gamma \left(s+{\frac {1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}{\mathrm {e} }^{2\mathrm {i} z}\sum _{k=0}L_{k}^{(-s-1/2-k)}\left({\frac {\mathrm {i} t}{4}}\right)(4\mathrm {i} z)^{k}{\frac {J_{2s+k}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{{\sqrt {tz}}^{2s+k}}},$

la formule de décalage d'indice

$\Gamma (\nu -\mu )J_{\nu }(z)=\Gamma (\mu +1)\sum _{n=0}{\frac {\Gamma (\nu -\mu +n)}{n!\Gamma (\nu +n+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +n}J_{\mu +n}(z),$

le développement de Taylor (formule d'addition)

${\frac {J_{s}\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)}{\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)^{\pm s}}}=\sum _{k=0}{\frac {(\pm u)^{k}}{k!}}{\frac {J_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}}},$

(cf. ^{[Pas dans la source]}) et le développement de l'intégrale de la fonction de Bessel,

$\int J_{s}(z)\mathrm {d} z=2\sum _{k=0}^{+\infty }J_{s+2k+1}(z),$

sont du même type.

Voir également

• Fonction de Bessel
• Polynôme de Bessel
• Polynôme de Lommel
• Transformation de Hankel
• Série de Fourier généralisée
• Polynôme de Schläfli

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Neumann polynomial » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Neumann Polynomial », sur MathWorld
• (en) « Polynôme de Neumann », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)