Faisceau injectif

En mathématiques, un faisceau injectif est un objet injectif (en) d'une catégorie abélienne de faisceaux.

Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique $X$ fixé, un faisceau $I$ est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau $A$ d'un faisceau $B$, tout morphisme injectif de $A$ dans $I$ se prolonge en un morphisme de $B$ dans $I$. Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche $Hom_{Faisc(X)}(\_,I)$ est exact.

Propriétés

Lemme — Tout faisceau $F$ de groupes abéliens sur $X$ se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

On en déduit immédiatement :

Théorème — Tout faisceau $F$ de groupes abéliens sur X admet une résolution injective, c'est-à-dire qu'il existe une suite exacte longue$0\to F\to I^{0}\to I^{1}\to \ldots \to I^{n}\to \ldots$où tous les $I^{n}$ sont des faisceaux injectifs de groupes abéliens sur X.

Preuve du lemme

• Pour tout point $x$ de $X$, il existe un plongement de la fibre $F_{x}$ dans un groupe abélien injectif $I_{x}$. Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel $I(x)$ et défini par :$I(x)(U)={\begin{cases}I_{x}&{\text{si}}\quad x\in U\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$ Alternativement, si $\{x\}$ est fermé dans $X$ alors $I(x)={i_{x}}_{*}I_{x}$ avec $\{x\}{\stackrel {i_{x}}{\hookrightarrow }}X$ (plus généralement, $I(x)={i_{\overline {\{x\}}}}_{*}I_{x}$).

Pour tout faisceau $A$ de groupes abéliens, on a $Hom_{Faisc(X)}(A,I(x))\cong Hom_{\mathbb {Z} }(A_{x},I_{x})$. Il s'ensuit que $I(x)$ est un faisceau injectif.

• Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle$F\to I^{0}:=\prod _{x\in X}I(x)$est un monomorphisme de $F$ dans un faisceau injectif.

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