Discussion:Fraction continue

Fraction continuée ou fraction continue ?

Je désapprouve fortement le choix du titre. La traduction correcte est "fraction continue", qui est une expression insécable. Une fraction continue n'est pas une fraction et n'est pas continue au sens habituel de la continuité en mathématiques. La tradition terminologique francaise est fixée depuis longtemps et ce n'est pas a Wikipedia de chercher a la changer. Kilom691 30 août 2005 à 10:38 (CEST)

Je suis d'accord avec Kilom691. Le terme usuel en francais est «fraction continue». On devrait renommer l'article et les occurences éponymes en son sein. Witoki 1 septembre 2005 à 16:31 (CEST)

Cela dit les deux termes sont cités dans le “dictionnaire des mathématiques” de F. Le Lionnais. Maceo75

Fraction continue ou continued fraction?

Copié depuis Discuter:Racine carrée de deux, où il y aura peut-être plus de réponses qu'ici.

Bon, il semblerait que Dieudonné voulût qu'on dît fraction continuée, mais moi, je ne veux pas, alors ce n'est pas un argument. Plus sérieusement, il me semble que l'usage est de dire Fraction continue. Je n'ai jamais entendu un collègue dire autre chose. Nous n'avons pas à nous poser en prescripteurs, et à aller contre l'usage. Quelqu'un pense-t-il que fraction continuée est répandu?Salle 21 septembre 2006 à 16:10 (CEST)

doute ...

Voila, je doute:

"fraction continuée" sous Google: 773 resultats. "fraction continue" (ce qui me semble plus approprie): 23 300 resultats...

Ne pourrait-t-on pas changer de nom ?

Ico83 28 septembre 2006 à 11:33 (CEST)

Renommage

À la demande générale, l'article a été renommé en fraction continue (terme plus usité) et tant pis pour Jean Dieudonné... --HB 28 septembre 2006 à 12:27 (CEST)

Je reviens sur une vieille question pour donner juste un mince argument pour les fractions continuées. Le terme "continue" ne pose aucun problème pour les fractions continues, mais quand on vient au approximation de Padé ,ie aux fractions continues de fonctions que l'on pourrait penser continues...Enfin, ceci rentre plutôt dans une logique pédagogique, comme pour appeler généralement un reste d'une série Rn ,un entier n , un réel x , etc...

Avertissement

A cette date, 3 décembre 2005, une première lecture révèle trois erreurs dans cet article (périodicité du développement pour tout nombre irrationnel, mauvais schéma de construction, mauvaise application aux nombres négatifs) que j'ai corrigées. Il est possible que d'autres erreurs persistent. Article à prendre avec précaution et à relire avec attention. HB 3 décembre 2005 à 09:44 (CET)

Je n'ai jamais entendu non plus l'expression de fraction continuée alors que j'ai toujours entendu fraction continue je partage donc l'avis précédent. Il existe une autre erreur sur l'équation de Pell. On pourrait remplacer p (resp q) par une suite $p_{n}$ (resp $q_{n}$) mais on obtient une condition nécessaire en non suffisante. HB connais tu la condition nécessaire et suffisante autour de cette problématique? Si personne n'en connaît il va bien falloir un jour supprimer ce paragraphe. Jean-Luc W 3 décembre 2005 à 15:14 (CET)

ne pas supprimer mais corriger: l'équation de Pell fut résolue grâce aux fractions continues voir Serge Mehl. Les souvenirs sont vieux... Cet article comporte vraiment des erreurs (voilà ce qui arrive quand on traduit un article anglais faux).HB 3 décembre 2005 à 17:00 (CET)

Claudius 3 décembre 2005 à 16:21 (CET)

- S'agissant de la périodicité d'une fraction continue pour tout nombre irrationnel, faut-il mettre en ligne une démonstration avant que cela disparaisse de l'article ?

Seuls les nombres quadratiques ont un développement en fraction continue périodique (comme expliqué plus loin dans l'article)

- S'agissant du mauvais schéma de construction, quelle est l'erreur ?

L'erreur etait de dire que le développement de r était [0; i; ...] où i est la partie entière de 1/r et ... le développement de f, partie fractionnaire de 1/r. Ce qui donnerait pour r = 3/5, i = 1, puis f = 2/3 or le développement en fraction continue de 2/3 est [0;1;2]. ce qui selon le schéma qui était proposé aurait donné pour le développement de 3/5 : [0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2]. Développement faux. Le développement de 3/5 est [0 ; 1 ; 1 ; 2]. Il fallait donc prendre pour ... le développement de 1/f et non celui de f

- Et enfin, pourquoi l'application [de ce schéma], j'imagine, ne s'applique t'il pas aux nombres rationnels négatifs ?

l'article disait que le développement de -233/177 était [-1 ; 3 ; 6 ; 4 ; 2] alors que c'est [-2 ; 1 ; 2 ; 6 ; 4 ; 2]. La fraction continue [-1 ; 3 ; 6 ; 4 ; 2] représente -121/177

HB 3 décembre 2005 à 17:00 (CET)

J'ai complété et corrigé le paragraphe sur l'équation de Pell. Mon souci principal rédidait dans une constante qui tend vers la racine de 2 alors qu'une constante ne varie pas à mon goût. De plus la condition nécessaire et suffisante n'a pas de sens. HB a toujours raison, des coquilles sont toujours là, par exemple un nombre transcendant ne semblent pas être considéré dans l'article comme de irrationnels. Jean-Luc W 4 décembre 2005 à 01:33 (CET)

A ce jour (mercredi 7 décembre), l'article a été considérablement modifié. Les premières coquilles ont été corrigées (HB et Jean-Luc W) mais je l'ai complété et remanié, il faudrait un relecture par un esprit neuf. Bon courage à celui qui s'y lancera. HB 7 décembre 2005 à 18:59 (CET)

Visualisation d'un pavage par des carrés d'un rectangle

Voilà une approche bien sympathique. Pourquoi prendre L et l tel que la fraction soit égal à x? Pourquoi ne pas prendre x et 1? Cette solution aurait l'avantage de fonctionner aussi dans le cas ou x est irrationnel, sinon le lecteur se demande quel est la valeur de L et l. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 19:06 (CET)

L'idée est de replonger dans un contexte historique où une fraction est un rapport de longueur et de faire connaissance avec les grandeurs commensurables (i.e. dont le rapport est rationnel) et non commensurable (i.e dont le rapport n'est pas rationnel).HB 7 décembre 2005 à 19:10 (CET)

J'achète ton argument mais je reste sur ma fin quand aux valeur de L et l pour le nombre d'or. Pour répondre de manière plus général, 4 points me semble à noter. La motivation me semble faible voir fausse. Les indiens qui ont inventé le système décimal se sont forcément rendu compte qu'il est infiniment plus pratique, je n'imagine pas un seul instant un peuple en train de compter en fraction continue. En plus la base 10 ne se justifie pas uniquement par nos dix doigts, c'est une base encore simple qui permet facilement les divisions par 2 par 5 par 10 et qui a des propriétés sympathiques surl le modulo 3 et 9. Ensuite je regrouperais en une seule partie la notion d'approximation finie. Enfin, je remonterait dans l'article ton pavage. Il donne une vision intuitive, il devrait se situer pour moi après l'historique. Voilà l'essentiel de mes quatre remarques. Après relecture, il est déjà infiniment plus simple et plus agrèable.

En fait je ne suis pas sur d'acheter ton argument, oui sur les grandeurs commensurables mais pourquoi s'ennuyer avec la notion de fraction rationnel à ce niveau là. Si 1 et x sont commensurables le processus est fini, sinon 1 et x sont incommensurables. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 19:22 (CET)

pour l'indien : il ne comptait pas en fraction continue, il résolvait une équation en utilisant les fractions continues. Le fait de connaitre le système décimal n'empêche en rien de continuer à utiliser des fractions si nécessaire.

Pour le nombre d'or, un rectangle d'or est par définition un rectangle dont les deux longueurs sont dans un rapport de phi, il est dommage de se limiter à un rectangle de côté 1 et Phi, même si, reconnaissons le ce n'est qu'un problème d'unité de longueur. Enfin, je te laisse la main pour les modificationsHB 7 décembre 2005 à 19:36 (CET)

pour le nombre d'or je me rend, c'est toi qui a raison, ta solution est plus élégante, pour l'indien je suis d'accord avec toi, donc la motivation est érronée donc nous sommes tous les deux d'accord, et pour les deux autres points partages tu mon opinion? Après je fais les modifs, là ou nous sommes d'accord. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 19:55 (CET)

Ah, je viens de comprendre ... motivation (référence au paragraphe motivation) J'avoue que je n'aime pas trop le paragraphe en question mais je suis toujours prudente dans les effacements (risque de perte d'information). pour la proposition 3 je regrouperais en une seule partie la notion d'approximation finie je ne comprends pas ce que tu veux faire. Pour la proposition 4, je jugeais ce pavage anecdotique et ne souhaitais pas faire patienter le lecteur trop longtemps avant de lui donner les outils mathématiques de construction d'une fraction continuée. Mais je manque de recul, c'est pourquoi, je te proposais de te laisser la main.HB 7 décembre 2005 à 20:30 (CET)

Excuses moi pour le manque de clarté, j'essaie quelque chose, je coupe en plusieurs parties pour que tu puisses reverter facilement autant que tu le sens. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 21:05 (CET)

Fractions continues ascendantes

Si les fractions continues "descendent vers le bas", les fractions continues ascendantes "montent vers le haut" ! Je ne connaissais pas avant d'avoir assisté à une conférence de Benoît Rittaud qui a écrit "Le fabuleux destin de ${\sqrt {2}}$" (Editions Le Pommier 2006 - ISBN 9-782746-502758) --Claudius 15 octobre 2006 à 19:25 (CEST)

BA ?

2/1 un to 40

Relecture de Claudeh5

• .... je te signale un manque dans les applications: les fractions continues servent aussi dans la résolution de l'équation ax+by=c en nombres entiers. En particulier, l'avant-dernière réduite de la fraction continue a/b fournit une solution particulière de l'équation.Claudeh5 (d) 15 juin 2008 à 18:53 (CEST)

Cette application est plus simple que, par exemple, celle de l'irrationnalité de e. L'objectif est une accessibilité importante, l'application à Bézout est clairement plus pertinente, je l'insère comme la première application.

• Il faut une introduction au problème de huygens. Actuellement on débarque au milieu des réflexions de Huygens sans avoir compris de quoi il s'agit... Huygens se propose de faire un modèle mécanique du mouvement des cinq planètes principales connues à son époque (Uranus n'est découvert quà la fin du 18e siècle, Neptune au milieu du 19e et pluton (que je considère comme une planète) en 1930. Il s'agit donc d'un mécanisme à roues dentées à l'instar des horloges.

A la relecture, la remarque devient d'une pertinence implacable. L'article est déjà bien gros, d'où la nécessité d'une introduction rapide, mais l'introduction est indispensable, sinon le contexte est incompréhensible.

• Et pi alors ? rien sur 22/7 ? rien sur 355/113 ?

Encore une remarque dont la pertinence devient incontournable une fois qu'on y pense. La première application du paragraphe Meilleure approximation semble beaucoup plus devoir être sur 22/7 et 255/113 que Liouville. La construction explicite d'un nombre transcendant viendrait alors juste derrière.

Les remarques de Claudeh5 sont en fonte normale, les réponses de Jean-Luc W en italique.

Conclusion

Les trois remarques de Claude sont incontournables. L'article déjà bien chargé devient alors trop lourd. Je pense que la solution la plus viable est de transférer les calculs d'approximants de padé dans l'article Approximant de Padé et de condenser les deux applications Equations de Pell-Fermat en une seule dans le paragraphe Nombre quadratique.

L'article devient plus léger, plus abordable et un bon système de liens ne pénalisera pas le lecteur expert. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 10:33 (CEST)

Relecture d'Ambigraphe

Dans l'introduction

• La « forme » est ambigüe pour qui ne connait pas le sujet : il ne s'agit pas d'une expression algébrique finie, mais d'une écriture incomplète à la manière des π = 3,14159… Il faut impérativement expliquer dès la première phrase que cette expression est en général infinie et relève donc plutôt de l'analyse réelle. (Tiens, d'ailleurs on n'en fait pas avec les p-adiques ?) Mais comment expliquer cela proprement sans rentrer dans des détails lourdingues ? Peut-on chercher quelque chose qui aille un peu dans le sens suivant :

OK sur presque tout, je n'achète pas tes p-adiques.

• En mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est un système d'écriture différent de la notation décimale classique pour un nombre réel, utilisant des fractions étagées de la forme : [image]

  les expressions finies fournissant une approximation dont la précision croît avec le nombre d'étages. […]

• Il est inutile de graisser chaque occurrence du titre de l'article.
• Peut-être que la notion de « meilleure approximation » pourrait être amenée par l'expression « en un certain sens » afin d'évoquer une justification mathématique sous-jacente, plutôt que par « d'une manière générale » qui n'est pas très claire (qu'est-ce qui est généralisé ?)
• La phrase « Les fractions continues possèdent une longue histoire » n'est pas utile. Il est suffisant de dire qu'elles sont déjà usitées par les mathématiciens indiens (de quel Moyen-âge d'ailleurs ? C'est le même que le nôtre ?) Le nombre de mathématiciens ayant planché dessus au XXe fait un peu sensation sans pouvoir être apprécié correctement par le lecteur moyen : ça fait beaucoup ou pas ?

La citation n'est pas utile . Moyen-Age d'ailleurs, préciser dans l'introduction me semble trop lourd, ce qui veulent des précisions ont la partie historique pour répondre à cette question. 1500 c'est beaucoup ? : suffisamment pour que l'article ne soit pas exhaustif et que de vastes parties du sujet ne puissent être traitées (c'est l'objectif de la phrase).

• Enfin, la notation utilisée dans le corps de l'article pourrait être évoquée dans l'introduction, par exemple à la fin du premier alinéa.

Ambigraphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)

Remarques

J'achète tout, sauf les p-adiques. Je les ai sauvagement sabré de l'article (d'où ils n'étaient pas présents avant mon intervention). Les p-adiques ne sont pas encore traités sérieusement dans WP. Le malheureux qui voudrait apprendre quelque chose sur le sujet ne trouverait qu'une abominable impasse sur presque tous les aspects bien riches de cette question. Salle me suggérait de m'y mettre, mais il y a encore trop de trous en théorie des nombres vision algébrique. Pour les experts, j'annonce que l'on va un peu parler de fractions rationnelles.

Si je n'ai pas pris en compte la remarque sur les 1500 chercheurs c'est que je ne sais pas comment m'y prendre. Je ne veux pas prendre plus de place pour couvrir dans l'introduction un paragraphe somme toute petit. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 19:00 (CEST)

Préambule

• Le conflit de traduction est exagérément mis en vedette. Il peut être mis en note juste après l'expression « fraction continuée » dans l'introduction.
• L'exemple est d'abord incompréhensible. Comment ça « la » fraction continue de 415/93 ? L'introduction actuelle ne permet absolument pas de comprendre que chaque réel peut s'écrire sous forme de fraction continue. Celle que je propose ci-dessus essaie de faire mieux de ce côté, mais ce n'est pas encore limpide.
• Surtout, plonger dans les calculs quand on ne sait pas encore de quoi on parle, c'est foutre la frousse aux néophytes. Il vaudrait mieux commencer par expliquer que l'algorithme d'Euclide de recherche d'un pgcd fournit des quotients qui peuvent être exploités pour fournir une écriture sous forme de fraction étagée. Plutôt que de détailler ces calculs dans le corps du texte, une illustration sous forme de tableau peut construire l'exemple rapidement et efficacement. L'algorithme revu avec des parties entières donne ensuite un procédé de calcul qui peut s'appliquer à un irrationnel.
• Les calculs du paragraphe sur √2 ne sont pas clairs.
• La partie « Motivation » ne dit pas grand chose de plus que l'introduction et se retrouve de toute manière explicitée par d'autres parties ensuite. Il faut donc soit l'éclaircir pour en tirer des idées claires, soit la supprimer.
• On ne sait toujours pas vraiment ce que sont les fractions continues quand les inévitables « fragments d'histoire » viennent abreuver le lecteur de dates et de grands noms qui utilisent ces énigmatiques fractions continues pour calculer plein de choses plus énigmatiques encore. À mon sens, l'histoire devrait dans cet article se trouver entre la partie « Définition et premières propriétés » et les applications.
• Enfin, il n'est nul besoin de recourir au néologisme « approximer » quand le verbe « approcher » convient parfaitement au sens mathématique.

Ambigraphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)

Relecture (partielle) de HB

Cher Jean-Luc, tu es venu solliciter notre avis sur ton texte et nous jouons le jeu avec l'honnêteté qu'implique ta démarche. Malheureusement, cette analyse critique risque de te paraître assez négative. Un avis global d'abord : l'article me semble trop long et met une plombe à se charger. Il s'apparente plus à un manuel complet sur les fractions continues qu'à un exposé encyclopédique. Au bout de trois heures de lecture laborieuse je me suis arrêtée à la section irrationnalité de e quand j'ai vu la longueur et la complexité de la démonstration... Mais pourquoi d'ailleurs vouloir mettre les démonstrations? Elles alourdissent l'article (même en boite déroulante) et sont sources d'erreurs potentielles (voir plus bas) qui risquent de ne pas être corrigées. Il vaut beaucoup mieux mettre un bon ouvrage en référence à mon avis. Je te livre cependant quelques remarques concernantla partie que j'ai lue.

Entête

En gros mêmes réflexions qu'Ambigraphe.

Introduction par l'exemple

• Comme Ambigraphe, je préfère approcher qu'approximer.
• Tu écris "Il n’existe qu’un nombre fini d’approximations ayant ces propriétés dans le cas d'un rationnel". Affirmation sans preuve sur laquelle s'appuie une conséquence qui se démontre tellement plus simplement par l'algorithme d'Euclide.
• Tu parles de "précision supérieure au millième." Sur la précision, toujours cette difficulté, la précision est meilleure qu'une précision au millième mais peut-on dire que la précision est supérieure ? avec une erreur inférieure au millième ?

Motivation

• Que veut dire équivalent dans "L'approximation décimale équivalente : 141/100" ?
• Encore une fois cette histoire du nombre fini de meilleure approximation d'un rationnel pour justifier le caractère fini de la suite pour un rationnel

Histoire

• Même remarque qu'Ambigraphe sur le fait que cela est prématuré tant qu'on n'en sait pas assez sur les fractions continues
• Tu prends un peu trop de liberté avec tes sources : la boutade de Brezinski "Mais arrêtons nous là car il faudrait citer ...1500 mathématiciens" devient dans ton texte "Le XXe siècle voit l'explosion du nombre de publications sur ce sujet. Plus de 1 500 mathématiciens trouvent des éléments digne de communication" ce qui est me semble-t-il sensiblement différent. De plus cette affirmation figure deux fois dans l'article.

définition

• Là c'est un peu confus. On parle DU développement en fraction continue sans avoir prouvé qu'il était unique. D'autant plus que plus loin on va indiquer qu'un nombre rationnel en possède deux. On pourrait peut-être s'inspirer de cette présentation qui distingue elle aussi rationnel et irrationnel
• la définition du développement m'a paru confuse avec un flottement entre des indices a, n, p (je fais une contre-proposition)

Le développement en fraction continue d'un réel x est une suite d'entiers ($a_{p}$) éventuellement finie associée à une suite de réels ($x_{p}$) définis par récurrence par

• $x_{0}=x$ et $a_{0}=E(x)$ où E(x) représente la partie entière de x
• Pour tout entier n,
  • si $x_{n}=a_{n}$ alors la suite s'arrête,
  • sinon, $x_{n+1}={\frac {1}{x_{n}-a_{n}}}$ et $a_{n+1}=E(x_{n+1})$

On obtient ainsi, pour une suite définie au moins jusqu'au rang n+1, les égalités suivantes

$x=a_{0}+{\frac {1}{x_{1}}}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{x_{2}}}}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{x_{3}}}}}}}=\;\cdots \;=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\cdots a_{n}+{\frac {1}{x_{n+1}}}}}}}}}\;$

(après, on a intérêt à mettre des n partout)

Représentation géométrique

L'allusion à la suite de Fibonnaci est prématurée d'autant plus que tu en parles au chapitre suivant.

premières propriétés

• Il y a des problème de domaine de validité des formules dans la section premières propriétés qu'il faudrait corriger : parler d'un réel possédant un développement dans lequel x_{n+1} est défini permettrait de remplacer a_{p-1} par a_p
• La spirale d'or n'a rien à faire dans l'article
• Il faudrait sauter une ligne quand tu suggères de prendre les a_p = 1 car tu traites un exemple et pas le cas général et c'est confusionnant.
• les démonstrations ne sont pas convaincantes : il semble y avoir une confusion dans les compteurs : vrai pour p ou pour p-1 mais, plus grave, les propriétés sur les h_p et les k_p sont annoncées comme une conséquence de la propriété avec y mais dans le raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété concernant y, l'égalité liant h_p, h_{p-1} et h_{p-2} est utilisée. ==> démonstration à refaire ou à supprimer

Je ne comprend pas le dernier point. Les suites h_p et k_p ne sont elles pas définies par récurrence, totalement indépendament de la fraction continue? D'où vient ce besoin de démontrer la relation liant h_p, h_p-1 et h_p-2? Une explication supplémentaire serait la bienvenue. Jean-Luc W (d) 15 juillet 2008 à 16:20 (CEST)

Notation

un peu tardif non?

Nombre rationnel (propriété)

• Les réduites sont annoncées au chapitre nombre rationnel comme étant des rationnels (avec démonstration à l'appui) alors que le résultat est connu semble-t-il dès la section premières propriétés puisqu'on y parlait de hp et kp comme d'entiers
• le chapitre sur nombre rationnel propriété est en contradiction avec la définition donnée d'un développement en fraction continue car $[a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]$ ne peut pas être, selon la défnition, un développement en fraction continue.

je pense qu'une formulation exacte serait, il existe au moins deux fractions continues donnant le même rationnel mais seul la seconde fraction correspond au développement en fraction continue du rationnel. ce qui veut dire que l'on a pas défini ce qu'est une fraction continue....

• La démonstration par récurrence de "La représentation en fraction continue de x est finie si et seulement si, x est un nombre rationnel " manque de rigueur dans le quantificateur de la récurrence, il faudrait rajouter dans la récurrence "soit q un entier strictement supérieur à 1". Il faudrait expliquer pourquoi on peut prendre l'inverse de r/p (r est non nul car p et q sont premiers entre eux). De plus, la démonstration n'est valide que si l'on admet qu'il n'existe qu'une seule méthode pour obtenir un développement en fraction continue d'un nombre et on retombe toujours sur le même problème de définition et c'est en contradiction avec la démonstration qui sui tqui veut prouver qu'un rationnel possède au moins deux fractions continues.

Nombre rationnel (Identité de Bézout)

• la je ne suis pas d'accord avec Claudeh : à moins que l'on me prouve que l'on utilise une autre méthode que l'algorithme d'Euclide pour décomposer un rationnel en fraction continue, pour moi, c'est l'algorithme d'Euclide et pas les fractions continues qui donne une solution particulière à l'identité de Bézout.
• identité de Bézout, tu écris "Si l'on note p ce plus grand commun diviseur, la résolution de l'équation suivante permet de résoudre (1) par multiplication des deux membres de l'égalité (2) par c / p :", "Résoudre" n'est pas le terme approprié, et multiplier les deux membres n'est qu'un étape. Il faudrait écrire "on trouve UNE solution de l'équation (2) en multipliant par c/p une solution de l'équation (1)

après j'ai cessé de lire... trop fatiguée. Je t'avoue que je ne compte pas continuer la relecture surtout des démonstrations, il faudra donc que tu trouves quelqu'un d'autre pour les valider mais je ne suis pas convaincue qu'elles aient leur place ici.

Juste une dernière remarque : il y a deux sections sur Pell-Fermat ça ne fait pas doublon par hasard ?

Bon courage pour la lecture de mon pavé. Il me semble qu'on prête moins le flanc à la critique quand on envisage une version plus modeste des articles, d'autant plus qu'ils demeurent alors plus abordables au néophyte. Mais ce n'est que mon humble avis. Cordialement. HB (d) 16 juin 2008 à 20:32 (CEST)

réponse de Claudeh5 (pas content) à HB

Pardon ? C'est de la plaisanterie ou quoi ? La démonstration de cette propriété des réduites de donner une solution particulière (ce n'est pas la seule) à l'équation de Bachet de Meziriac est donnée dans l'article. Je ne comprends donc pas le paragraphe "a moins que ... Bezout" qui frise l'absurde: que ce soit d'une manière ou d'une autre c'est la décomposition en fraction continue de a/b qui est utilisé et c'est le calcul de l'avant-dernière réduite qui fournit la solution particulière. Je n'ignore pas qu'il y a une technique de remontée de l'algorithme d'euclide qui permet d'arriver au même résultat mais cela revient exactement à calculer l'avant dernière réduite ... sans le dire !Claudeh5 (d) 17 juin 2008 à 01:13 (CEST)

problème de communication semble-t-il : je ne nie pas la présence d'une solution à l'identité de Bézout dans l'avant dernière réduite. Je mets en doute que cette avant-dernière réduite SERVE à trouver une solution au problème car pour calculer l'avant dernière réduite il faut, semble-t-il, développer l'algorithme d'Euclide généralisé qui fournit conjointement les réduites et une solution. D'où ma question : peut-on se passer de l'algorithme d'Euclide pour calculer les réduites ? Si oui, alors, oui, les fractions continues servent à à résoudre l'identité de Bézout, sinon, et bien on ne gagne rien de plus que ce que l'on a déjà avec l'algorithme d'Euclide étendu. Mais tout ceci n'est qu'un détail. HB (d) 17 juin 2008 à 21:13 (CEST)

Première synthèse

Un large consensus au sein que WP admet maintenant que les articles doivent être accessibles à un large public. Certains comme moi estiment que cela est réalisable sans pénaliser des lecteurs plus experts.

L'expérience de l'article nombre d'or ainsi que celui ci montre que l'on ne s'improvise pas vulgarisateur si simplement. A la lecture des remarques précédentes, il apparaît évident que l'on peut encore beaucoup mieux faire et que l'article n'est pas loin d'être prêt pour une nouvelle refonte. C'est la rêgle du jeu de WP, réjouissons nous plutôt du fait que les différentes compétences des contributeurs ouvrent la voie à de nouvelles améliorations.

A l'avenir, je serais peut-être un peu plus prudent et à l'image de Valvino je devrais commencer plus tôt le sondage pour amasser en amont un premier lot d'idées avant de commencer. Personnellement, je crois que sans cette première version, je n'aurai guère eu la vue assez large pour savoir ce qu'est une fraction continue.

Que des opinions différentes apparaissent sur un article, n'est qu'une source d'enrichissements. Travaillons plutôt à l'élaboration d'une version qui satisfasse l'intégralité des contributeurs, reflets des différentes tendances des lecteurs plutôt que de mettre en jeu nos affects. HB voit les choses différemment de moi ? Cela ne signifie pas nécessairement que je doive me mettre en colère. Mettons nous au travail pour élaborer un compromis acceptable pour tous !

Merci à tous pour avoir la gentillesse d'apporter vos idées. Personnellement je trouve l'idée de Claudeh5 bien sympathique et je suis sur que nous allons trouver une rédaction qui mette bien en valeur la relation avec l'algorithme d'Euclide et évite l'écueil cité par HB. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 09:39 (CEST)

La main à la pâte

J'ai repris les exemples introductifs en leur donnant une teinte nettement plus algorithmique et en évitant de parler "du" développement. Je crois que les démonstrations (non à dérouler) sont peut-être un peu longues, et je vais essayer de voir si je peux mieux faire. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 12:28 (CEST)

J'ai encore fait un certain nombre de bidouillages divers et variés, surtout du style et de l'orthographe. Maintenant, j'arrive à la partie plus mathématique, qui comprend les premières propriétés, et là, ça ne va pas, les choses ne sont pas dans le bon ordre. Il faut que je réfléchisse à une solution possible. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 13:54 (CEST)

J'ai trouvé je crois, en partie (à relire). HB (d) 17 juin 2008 à 15:25 (CEST)

La main à la pâte : deux idées ?

HB exprime deux idées sur ma page de discussion :

Je ne sais même pas par quel bout le prendre pour éviter les contradictions internes. On éviterait probablement beaucoup de problème en refusant de faire apparaitre les démonstrations qui oblige l'article à des tours et des détours préjudiciables à son contenu. On pourrait alors développer l'article en s'inspirant dans un premier temps de l'encyclopédia universalis qui présente les approximations de x comme des points "proches" de la droite Y = xX de coordonnées entières. Par points proches, il entend des points pour lesquels il n'existe pas de points de coordonnes entières entre la droite et le segment OM. et on aurait alors tout de suite une vision pragmatique d'une fraction continue. On pourrait alors affirmer mais sans le démontrer que ces points s'obtiennent grâce à l'algorithme sur les fractions partielles et les fractions totales. et on présenterait alors la forme "en étage". remarque de HB

Peut-être que Sylvie Martin et HB devraient se coordonner et statuer sur cette idée (puisqu'elles semblent prendre la main sur la première partie de l'article, pour le plus grand bonheur de tous).

Je trouve qu'il faudrait déplacer les parties démonstrations associées aux approximants de Padé dans l'article idoine, de même, il faut déplacer la partie trop lourde sur les développement des nombres quadratiques qui, au vu de la taille, mérite un article à part entière. J'attend de voir si l'idée fait consensus ou non pour agir. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 16:22 (CEST)

HB, peux-tu me dire un peu où tu en es, histoire qu'on ne doublonne pas? J'ai mal dormi cette nuit, dans mon crâne, c'est pas de la cervelle mais de la sauce blanche (citation approchée tirée de la "Java des bombes tomiques" de Boris Vian), si bien que ce que j'écris peut être assez mauvais. De plus, je suis tout sauf spécialiste de ce sujet. En revanche, j'ai beaucoup utilisé et enseigné des approximants de Padé, ce qui n'est pas très loin. Je voyais la situation comme ceci :

1. on part d'un réel et on définit par un petit algorithme la suite des nombres $a_{i}$, finie ou infinie ;
2. on montre que si ce réel est rationnel, la suite est forcément finie, et la fraction continue finie ainsi obtenue redonne bien le rationnel dont on est parti ;
3. si la suite est infinie, on montre qu'elle converge, en utilisant la récurrence sur les numérateurs et dénominateurs des réduites successives, qui doit être, sauf erreur de ma part $p_{n+1}=p_{n-1}+a_{n+1}p_{n}$ et $q_{n+1}=q_{n-1}+a_{n+1}q_{n}$ ; on peut également vérifier que les sous-suites à indices pairs et à indices impairs sont monotones et fournissent un encadrement de la limite, qui est notre bel et bon réel irrationnel de départ ;
4. l'unicité du développement dans le cas irrationnel vient gratis ou à peu près.

Une fois ces questions réglées, il n'est plus nécessaire de tourner autour du pot, et on peut parler du développement en fraction continue, qui existe toujours, et l'identifier honnêtement à un bon et brave réel. L'article "approximants de Padé" est un peu pauvre, et on pourrait y déplacer une partie de ce qui est prouvé ici, et qui relève plus des Padé que directement des fractions continues. De même pour les développements de $\pi$ et e. Une fois ces déplacements faits, l'article fractions continues retrouverait un tour de taille raisonnable, me semble-t-il. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 16:30 (CEST)

Idem pour les développements en fraction continue des nombres quadratiques, ils ont leur place avec les nombres quadratiques. On doit pouvoir présenter des développements en fraction continue intéressants, sans mettre de démonstration et renvoyer les démonstrations aux articles plus spécialisés. Donc, oui, mettre e et $\pi$, mais ne pas donner de démo. A part ça, les démonstrations de transcendance de e et $\pi$ méritent le détour, et si quelqu'un a le courage, un de ces jours...--Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 16:35 (CEST)

J'aime bien aussi l'idée géométrique de l'Encyclopedia Universalis, signalée par HB. On peut la mettre en rapport avec les vues de forêts de pins plantés sur une grille carrée régulière : quelles sont les directions dans lesquelles on peut voir jusqu'à la lisière (réponse en fonction de l'épaisseur des troncs, du pas de la grille et de la géométrie de la zone plantée). En ce qui concerne les démonstrations longues, je pense qu'il faut tout simplement fabriquer des articles où elles trouvent leur place. Je ne suis pas spécialiste de théorie des nombres, donc je ne saurais pas comment intituler les articles en question, mais peut-être que Cgolds a une idée? Il ne faut pas perdre ce travail d'exposition, il faut seulement le déplacer intelligemment, et garder un bon graphe de liens hypertextes. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 16:46 (CEST)

Réponse de HB

• Sur le plan que tu proposes, oui, il résout pleinement le problème de cohérence donc aucune objection de ma part

Bon.

• Sur la réécriture de l'exemple rationnel: il était nécessaire mais je le trouve un peu trop long, pourquoi ne pas reprendre celui qui figure dans la section algorithme d'Euclide et qui fait d'ailleurs doublon avec le tien?

Tu as raison, il faut combiner les deux.

• Sur tes ajouts cosmétiques : aucune problème seulement veille à conserver une homogénéité dans les notations avec ce qui est déjà présent.
• Concernant la présentation d'Universalis, comme je l'indiquais dans la page de discussion, c'est UN des points d'entrée possible de l'article mais ce n'est pas celui qui a été choisi pour l'instant, je crains qu'en le rajoutant cela ne fasse qu'une verrue de plus donc ça m'est égal si l'on n'en parle pas.

Donc de côté pour le moment.

• Concernant les approximants de Padé, l'article Universalis et d'autres articles que j'avais lu définissaient une meilleure approximation rationnelle de x comme une fraction p/q telle que pour tout p' et q', si |p'x-q'|< |px - q| alors q'>q. Ce n'est pas ce qui est donné comme définition dans approximant de Padé. les deux notions sont-elles équivalentes ?

Etant donnée une série formelle $f(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots$ un approximant de Padé $[m,n]$ est une fraction rationnelle, dont le numérateur $P$ est au plus de degré $m$ et le dénominateur $q$ est au plus de degré $n$, tel que $p-qf$ soit au moins d'ordre $m+n+1$. S'il existe, un tel approximant est unique.

Je te laisse travailler sur l'article car je ne vais pas pouvoir être beaucoup disponible d'ici la fin de semaine (et plus selon aléa de convocation). Bon courage à tous. HB (d) 17 juin 2008 à 21:20 (CEST)

Bon courage à toi surtout... ça sent la correction d'épreuves d'examen! --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 21:43 (CEST)

Hum, je pense qu'en théorie des nombres (où je connais très mal l'aspect analytique), il est simple, une fois obtenue les approximants de Padé, de montrer que e^{r et tan (r) sont irrationnels si r est rationnel. On pourra toujours le glisser dans l'article nombre irrationnel. Je réfléchis sur Padé et propose un plan pour que le lecteur ait de quoi manger en lisant l'article. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 17:00 (CEST)}

La « situation » décrite par Sylvie Martin est inattaquable d'un point de vue démonstratif, mais bancale d'un point de vue pédagogique.

1. L'algorithme n'a de sens que lorsqu'on sait ce qu'on veut obtenir. Il faut d'abord voir que ces fractions étagées sortent toutes chaudes de l'algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd, ensuite on peut exprimer la construction de la fraction étagée à l'aide d'un procédé itératif utilisant partie entière et inverse, enfin dans un troisième temps on applique ce procédé à des réels. L'application réel -> fraction continue est acquise à cette étape.

OK. Mais comme j'ai promis à HB de rerédiger le premier exemple en injectant dedans l'algorithme d'Euclide, ça devrait être possible de te satisfaire. En tous cas, je tiens compte de cette remarque.

1. La terminaison de l'algorithme d'Euclide assure la terminaison du procédé itératif pour un nombre rationnel tandis que l'irrationalité interdit l'obtention d'un développement fini en fraction continue. Au passage, on montre qu'un développement périodique en fraction continue est nécessairement quadratique.
2. On définit les réduites d'une fraction continue et on montre que les suites d'indice pair et d'indice impair sont adjacentes, avec un écart explicite. L'application fraction continue -> réel est obtenue à cette étape.

C'est ce que j'avais en tête.

1. Reste le plus délicat : montrer que ces deux applications sont réciproques l'une de l'autre, ce qui est tellement bien caché dans l'article actuel que je ne l'y ai pas trouvé.

Bien sûr. C'est à mettre dans ce que je mijote. Merci de tes remarques. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 22:38 (CEST)

Ambigraphe, le 17 juin 2008 à 21:52 (CEST)

Refonte de l'introduction

Je tique sur la suppression de la phrase indiquant que c'est un vaste sujet de recherche. Que l'article soit didactique soit. Que l'article néglige totalement ce qu'est une fraction continue depuis plus de 200 ans me semble un peu étrange. On aurait pu dire sur un autre sujet, une voiture est un objet roulant tiré par un à plusieurs chevaux ..., mais les contributeurs ont jugés utile de tenir compte des progrès des 200 dernières années. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 21:46 (CEST)

Je suppose que tu fais allusion à ma reprise de l'introduction. Mais je n'ai pas supprimé la mention comme sujet de recherche. Tout au plus peut-on déplorer que l'adjectif « vaste » ait sauté au passage, ce qui est à mettre sur le compte d'une étourderie de ma part, facilement réparable. Si c'est le nombre de 1500 mathématiciens qui te manque, la critique de HB sur la fiabilité de ce compte et sa répétition plus loin dans l'article me confortent dans l'idée qu'il vaut mieux une phrase claire qu'un nombre illusoire. Ambigraphe, le 17 juin 2008 à 22:00 (CEST)

Dans le fond, je n'ai guère cherché à savoir qui avait écrit quoi. Personnellement je préfère une source imprécise à pas de source du tout. Je partage ton opinion sur le fait qu'une phrase claire est plus habile qu'un nombre illusoire. Jean-Luc W (d) 18 juin 2008 à 08:56 (CEST)

jahrbuch data base continued fraction=149 fraction continue=57

zentralblatt continued fraction=2734 fraction continue=126

Claudeh5 (d) 18 juin 2008 à 13:07 (CEST)

J'ai relu plus précisément, c'est toi qui as raison, amha. J'aime bien la mise en boite de l'exemple. Jean-Luc W (d) 18 juin 2008 à 18:03 (CEST)

Remarque de Salle

Je n'ai pas suivi toutes les discussions, mais j'ai deux réserves à la vue du préambule actuel : 1) j'ai vraiment du mal à croire que l'exemple 415/93 tel que présenté actuellement soit plus lisible pour qui que ce soit que dans la version qu'avait écrite Jean-Luc 2) l'algorithme fait doublon avec la section 2.1 (je viens d'y corriger une faute de rappel « dans ce cas » qui devait m'être due). Salle (d) 18 juin 2008 à 14:44 (CEST)

Sur l'exemple 415/93 et le problème du doublon, plus encore d'autres choses, j'ai promis de m'y remettre, ainsi que de faire une rédaction cohérente de l'existence et unicité du développement, pour éviter les inconsistances actuelles. La discussion est actuellement partagée entre cette page et le thé, ce qui la rend un peu compliquée à suivre. J'y ai expliqué pourquoi j'avais monstrueusement délayé l'exemple, et je vais reprendre mon délayage en tenant compte de toutes les remarques pertinentes qui m'ont été faites. Si tu en as à faire, je suis bien sûr toute ouïe. --Sylvie Martin (d) 18 juin 2008 à 14:56 (CEST)

J'oubliais : il y a aussi des morceaux de discussion sur ma page utilisateur. --Sylvie Martin (d) 18 juin 2008 à 15:06 (CEST)

Oui, je n'avais pas envie de relire toutes les discussions, peut-être aurais-je dû, désolé. On est donc sur une version de travail : ok, je wait and see. Je remarque juste que certains éléments de ta proposition de plan me semblent revenir à la « philosophie » de la version initiale (définition algorithmique des coeff du développement en fraction continue, puis questions d'unicité, caractérisation des rationnels) : donc je râlerai si je trouve au final que c'est moins bien fait. Sur les propositions de transfert, je suis d'accord pour les approximations de Padé ; pour les nombres quadratiques, il ne faut àma pas le mettre dans nombre quadratique, qui doit contenir bien d'autres choses. On peut créer un article Développement en fraction continue d'un nombre quadratique qui pourrait être appelé ici et dans nombre quadratique, si on considère que le présent article est aussi trop lourd. Salle (d) 18 juin 2008 à 15:57 (CEST)

OK, est-ce que tu peux me pointer la date de la version initiale, afin d'avoir un point de comparaison et de ne pas faire de travail inutile? merci d'avance. --Sylvie Martin (d) 18 juin 2008 à 18:01 (CEST)

Je pensais à la version du 10/05 : [1] (qui n'a évidemment rien d'une version initiale ou d'une version meilleure a priori sur quelque point, c'est juste la dernière que j'avais regardée, et d'ailleurs, manifestement, suivant la remarque de HB, je m'étais lamentablement planté sur le proof-reading - au mieux j'ai laissé des erreurs, au pire j'en ai introduit - toutes mes excuses). Salle (d) 19 juin 2008 à 13:31 (CEST)

Je suis totalement en phase avec Salle, j'ai d'ailleurs ajouté quelques démos sur les palindromes et la fonction tangente si Salle pouvait jeter un coup d'œil ... Jean-Luc W (d) 18 juin 2008 à 17:58 (CEST)

algorithme

Puisque l'on prend la version "algorithme" des fractions continues, plutôt que de faire tout un laius pour une minable fraction, autant dire tout de suite que les a_n se calculent par l'algorithme d'Euclide et le présenter dans un tableau comme le fait Cahen.Claudeh5 (d) 18 juin 2008 à 22:09 (CEST)

Je vais certainement regrouper algorithme d'Euclide et représentation en fraction continue, m je vais faire un laïus et un tableau si j'ai le courage de faire un tableau, le tout pour la minable fraction.

Pourquoi la minable fraction?

1. parce que moi-même, je suis minable
2. parce que je pense aux éventuels minables lecteurs
3. parce qu'on est bien d'accord que les étudiants qui entrent à l'université ou qui finissent une terminale S ne manipulent pas confortablement un nombre arbitraire de variables littérales, qui plus est indexées
4. comme une accroche vers la présentation avec un nombre arbitraire de variables indexées

Si on veut que le début de cet article soit vraiment élémentaire, il faut remplir quelques conditions nécessaires. Cahen écrivait il y a un siècle et des bricoles pour des gens de niveau universitaire, il était prof de maths spé. Certes, on apprend des maths différentes de nos jours, à ce même niveau, mais surtout, en 1900, la proportion de bacheliers par génération était minuscule, que dis-je, minable . On pouvait donc supposer que les gens de ce niveau étaient des gens très cultivés, ayant acquis une grande autonomie de pensée et une vraie capacité d'abstraction. Je vais donc mettre une minable fraction au début et ensuite traduire la présentation d'une part en algorithme, d'autre part en représentation avec un nombre arbitraire de quantités littérales indexées. Toute personne normalement constituée et mathématiquement éduquée tombant sur la minable fraction va survoler la chose pour aller vers la représentation plus abstraite. Du moins c'est le projet, mais je ne peux pas m'en occuper aujourd'hui.--Sylvie Martin (d) 19 juin 2008 à 19:40 (CEST)

Il était une fois un minable lycéen qui avait 16 ans quand il se rendit un jour dans une vraiment minable bibliothèque municipale (chalon sur saône, pour lui faire honte). Il y avait en tout et pour tout un traité de mathématique pour technicien supérieur par Martin, un livre de jean-louis Destouches sur la mécanique analytique, et un ou deux livres sur les probabilités expliquées aux parents (?). Et le traité de mécanique des fluides de Ouziaux et Perrier (l'édition en 3 volumes).Tout cela avait été avalé goulument l'année avant par le minable lycéen. En désespoir de cause, il avaisa le catalogue du fond ancien (<1903) en trois volumes. Et là, il vit avec envie la présence des comptes rendus de l'académie des sciences depuis ... 1835 jusqu'à 1903, un Cours de calcul infinitésimal de Houël en 4 volumes (le tome 4 a été recopié à la main. Il traitait des fonctions elliptiques) et le traité de Cahen, éléments de la théorie des nombres. Le lycéen se mis à recopier le traité de Cahen et notamment la partie sur les fractions continues qu'il a fort bien compris bien qu'il était totalement ignare sur cette question peu avant. l'année suivante, il était en terminale C et acheta à Nice trois livres pendant le carnaval: Le cours de calcul opérationnel appliqué et le cours de calcul tensoriel appliqué de Denis-Papin et Kaufmann et les leçons sur la géométrie des espaces de Riemann de Cartan. je vous laisse deviner qui était l'insupportable lycéen.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 20:31 (CEST)

Je te prie de m'excuser, je crois que mes points de sourire et d'ironie n'ont pas suffi à montrer que je ne me prenais pas au sérieux sur le mot "minable". Je ne doute pas que tu aies fait partie des esprits curieux et je ne peux qu'avoir une très grande estime pour le lycéen que tu étais. Et qui est devenu professionnel des mathématiques. Il faut que je me méfie de ma tendance à utiliser l'ironie écrite, parce que je me trompe sur la manière dont le message sera reçu. Re-pardon.--Sylvie Martin (d) 19 juin 2008 à 22:00 (CEST)

Définitions et autre

Je ne sais pas si ça va aider vu le nombre d'interventions, mais bon, quelques remarques sur le début, c'est la première qui me motive pour intervenir ... Pour moi le problème numéro 1 de cet article c'est qu'il ne contient pas de définition d'une fraction continue, ni vraiment du développement en fraction continue d'un réel. La définition actuelle, d'une part est moyennement correcte en tant qu'elle définit une suite de couples finie ou infinie par récurrence, d'autre part me semble plutôt devoir apparaître dans une démonstration de "tout réel se développe en fraction continue". Il me semble que c'est déjà au moins en partie l'un des problème que soulève HB, mais j'insiste parce que si on veut être utile et accessible au plus grand nombre (en particulier à ceux qui ignorent ou ont oublié ce dont il s'agit) des définitions (claires si possible) c'est vraiment très très utile, au moins autant que des exemples introductifs.

Dans le même ordre d'idée l'article utilise (paragraphe "premières propriétés") une fraction continue avec un coefficient réel ... bien commode et habituel, mais ça ne correspond pas à la définition de l'article ! Tout ça milite pour un vrai paragraphe de définition, assez tôt dans l'article, où l'on n'hésite pas à aligner quelques évidences sur les restes, où la notation est introduite dans le cas général, où l'on parle de convergence dans le cas infini ... (cf. Khinchin p 2).

Sinon pour l'introduction : je ne comprend pas non plus comme Salle pourquoi le délayage de l'exemple est utile. Ca n'est pas facile de faire quelque chose de ce genre et je ne prétend pas avoir la solution. Il me semble que l'usage de la notation indicée est déjà un premier obstacle si on veut être le plus accessible possible (sur un exemple on peut justement s'en passer). Sinon, sur ce genre de truc, quelquechose de resserré, où les relations apparaissent clairement (sous forme de tableau par ex.), me semble plus efficace que des commentaires, mais tout ça est subjectif.

Pour le passage aux irrationnels : l'algorithme n'en est plus vraiment un si on ne parle pas d'approximation, et justement ensuite le développement de √2 n'est pas obtenu de façon "algorithmique".

Algorithme d'Euclide : le doublon avec l'intro a été signalé, il se trouve que l'exemple 233/177 est exactement celui de Trignan (cf. biblio) p 8, mieux vaut garder celui de l'intro.

L' "application" à Bezout : je renchéris sur HB, dans l'état de l'article je ne vois pas ça comme une application (on introduit une notion plus complexe pour un gain qui n'apparait pas évident), mais plutôt comme un parallèle intéressant, qui pourrait être développé dans le paragraphe sur les développements des rationnels.

Les preuves par récurrence de choses assez évidentes (un développement fini est rationnel) au milieu de l'article, est-ce bien utile ? Proz (d) 18 juin 2008 à 23:10 (CEST)

J'ai proposé de mettre dans l'article l'application des fractions continues au problème de la résolution en nombres entiers de ax+by=c. En effet la construction même des réduites fournit une relation qui fait du couple ((-1)^k Q_{k-1}c,(-1)^{k-1}P_{k-1}c) une solution particulière de l'équation (lorsqu'elle est possible). Cette application est à la fois simple, pratique et je dirais fondamentale car comment autrement chercher une solution (x_0, y_0) particulière quand les nombres a et b sont grands ? par tatonnement ? On risque d'y passer un sacré bout de temps. Il est vrai qu'il existe une autre solution particulière connue: Supposant a et b premiers entre eux, on a ($\varphi ()$ désigne la fonction d'Euler)

$a^{\varphi (b)-1}=ub$ dont on déduit le couple $(ca^{\varphi (b)-1},-cu)$ mais est-ce plus facile numériquement ? Je rappelle qu'il faut une solution particulière pour en déduire la solution générale. Je ne comprends donc pas plus la remarque de HB qui frôle l'absurde, que celle de Proz qui n'a manifestement jamais cherché la solution particulière d'une équation en nombres entiers telle que 3213457*x+4534237*y=123487. Bon courage pour phi(4534237) (il vaut vaut 4377856...) et pour le calcul de la solution particulière SANS les fractions continues.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 08:17 (CEST)

J'aurais du précisé (je croyais l'avoir fait) un parallèle avec l'algorithme d'Euclide étendu, qui s'écrit en quelques lignes dans un langage de haut niveau, se justifie en quelques lignes également (une récurrence d'ordre 2 immédiate) sans qu'il soit du tout nécessaire de parler de fraction continue. Mais il s'agit du même calcul, comme c'est déjà dit à juste titre dans l'article. Remarquer que ça revient au même me semble utile, parler d'application me semble vraiment tordre les choses. Peut-être trouveras-tu moins absurdes ces remarques (assez mineures par ailleurs) si tu te renseignes un minimum sur l'algorithme d'Euclide étendu ? (et utiliser l'indicatrice d'Euler, je vois mal comment ça ne serait pas très mauvais algorithmiquement). Proz (d) 19 juin 2008 à 23:21 (CEST)

il faut revoir absolument la définition même de la fraction continue !

voici un énoncé faux:

• Il existe exactement deux représentations en fraction continue d'un nombre rationnel et l'une des deux représentations possède comme valeur du dernier élément de sa suite un.

Non c'est faux: il en existe exactement ... une infinité ! En effet supposons que l'on ait pour dernier terme le terme a_n >1. Alors on a aussi les égalités suivantes bien embarrassantes: [a0,a1,...,an]=[a0,a1,...,an-1,1]=[a0,a1,...,an-1,0,1]=[a0,a1,...,an-1,0,0,1]=... ou vous pouvez intercaler autant de zéros que vous voulez !Donc que celui qui a prétendu que Cahen était un âne, et qu'il y avait deux représentations en fraction continue des rationnels, veuillebien aller chez son chapelier préféré pour lui acheter immédiatement un chapeau et le manger sur place.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 15:44 (CEST)

Dans une fraction continue, a_n ne peut valoir 0 que si n est égal à 0, sinon a_n est nécessairement strictement positif. Cette définition est fréquente, c'est celle de l'article et, à moins qu'il n'y ait de bonnes raisons, je ne vois pas pourquoi la supprimer. Jean-Luc W (d) 19 juin 2008 à 16:03 (CEST)

Euh... si on pose que tous les entiers $a_{j}$ pour $j$≥1 sont au moins égaux à 1, je ne crois pas qu'on ait plus de deux représentations d'un rationnel par une fraction continue. Si on exige que le dernier soit strictement supérieur à 1, on n'en a plus qu'une. Ou j'ai faux...? Hi han! Hi han! amicalement, --Sylvie Martin (d) 19 juin 2008 à 16:09 (CEST)

Claude a raison dès qu'il prend une référence un peu haut de gamme, on parle très souvent de fraction continue à la place de fraction continue généralisée. Dans ce cas là, comme a_n devient un complexe un peu quelconque, le 1 associé devient d'ailleurs aussi une valeur b_n non moins quelconque. Sa position est parfaitement référençable. Le choix de Claude ne me semble néanmoins pas judicieux. Jean-Luc W (d) 19 juin 2008 à 16:15 (CEST)

il y a une solution simple, celle de ne considérer que la fraction continue dont le nombre d'étages est minimum à une précision donnée, auquel cas c'est la division euclidienne qui la donne (algorithme d'euclide).Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 16:22 (CEST)

remarque pour Jean-Luc: tu fais comment pour représenter par une fraction continue les entiers ? (qui sont tout de même des rationnels ...Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 16:26 (CEST)

Dans les ouvrages triviaux, cf toutes les références présentes pour l'article, il existe une grande concordance sur la définition b_n vaut toujours 1, a_n est un entier, strictement positif si n l'est. Elle a un défaut : deux représentations pour les rationnels, longuement narré dans les ouvrages élémentaires. J'aurai préféré la tienne, mais elle risque d'être trop en opposition avec les sources du lecteur moyen.

Pour les entiers, je fais comme dans la pub pour les toutous dans Paris, je fais où l'on me dit de faire. C'est à dire n = [n] = [n-1, 1], cf la démo dans la boite Propriété dernière démonstration.Jean-Luc W (d) 19 juin 2008 à 16:32 (CEST)

j'aurai accepté ton argument s'il était vrai. Mais il ne l'est pas (tu supposes a1>0). Pour n tu n'as que le choix [n-1,1] donc une seule représentation. De plus je ne vois à ce moment là plus du tout l'intérêt de la pseudo motivation énoncée dans le texte si chaque rationnel admet deux représentations.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 16:46 (CEST)

Je n'ai jamais dit que n, le dernier indice de la suite était strictement positif. J'ai dit que a_p était strictement positif si p est plus grand que 0 et inférieur ou égal à n, tralala. Jean-Luc W (d) 19 juin 2008 à 16:55 (CEST)

bof, moi je lis dans l'article: "où le premier terme $a_{0}$ est un entier relatif et pour tout $n$ strictement positif, le terme $a_{n}$ est un entier strictement positif." ce qui est quand même tout à fait différent. et qui signifie en fait que la représentation ne s'arrête jamais !Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 17:15 (CEST)

L'ambiguïté est volontaire. Si l'on rajoutait le terme « entier » entre « pour tout » et « n strictement positif », cela signifierait que tous les entiers sont concernés. En gardant la formulation actuelle, on ne dit pas si n est borné ou pas. Ambigraphe, le 19 juin 2008 à 22:18 (CEST)

???? cette explication n'a aucun sens: le parametrage par n est alors dans R+* ! c'est encore pire qu'avant.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 22:46 (CEST)

Non : parmi les indices n, seulement ceux qui sont strictement positifs correspondent à des entiers strictement positifs. Ce n'est pas une quantification, c'est une caractérisation. Ambigraphe, le 20 juin 2008 à 09:21 (CEST)

fragment d'histoire

C'est mieux de respecter la chronologie et évite, notamment ici, d'écrire des phrases qui pourraient être mal interprétées. On lit "Cet usage devient fréquent au XIXe siècle. Joseph Liouville (1809 - 1882) utilise le développement en fraction continue généralisée pour exhiber des nombres non algébriques, c’est-à-dire transcendants. Ce sont les nombres de Liouville. Grâce à lui, Ferdinand von Lindemann prouve en 1882 que π est transcendant et démontre par la même que la quadrature du cercle est impossible à réaliser. En utilisant les fractions continues, Charles Hermite (1822 - 1901) prouve la transcendance de e, base du logarithme néperien." je signale cependant que la démonstration d'Hermite sur la transcendance de e est de 1873 donc avant celle de Lindemann sur la transcendance de pi. D'autre part que la transcendance de pi de Lindemann doit tout à celle d'Hermite et pas grand-chose à Liouville.Claudeh5 (d) 20 juin 2008 à 19:17 (CEST)

Certains estimeront peut-être que tu n'as pas tous les torts.(traduction en français, tu as parfaitement raison sur les deux remarques) Jean-Luc W (d) 20 juin 2008 à 19:39 (CEST)

Typographie

Bonjour,

Je ne compte pas intervenir sur cet article car JLW et Sylvie Martin font déjà de l'excellent travail. Mais je peux améliorer la typographie. J'ai effectué la modification suivante :

• Ancienne version : [2] ;
• Nouvelle version : [3].

Dans l'ancienne version, il avait été choisi d'utiliser l'environnement "matrix" des formules mathématiques pour aligner les signes d'égalité au niveau de l'algorithme d'Euclide. C'est une solution souvent utilisée en LATEX, mais, si je me souviens, WP génère des images pour les formules mathématiques, qui ensuite sont gérées par le navigateur (est-ce que je commets une erreur ?). Donc, le résultat dépend du navigateur utilisé. J'ai supprimé la formule pour la remplacer par un tableau écrit en HTML. L'avantage est aussi d'aligner les signes et les chiffres. J'en ai profité pour ajouter un dégradé de couleurs. Les couleurs utilisées sont des couleurs stables, conseillées sur la page d'aide de WP.

J'ai aussi transformé le tableau des approximants, afin d'aligner les chiffres et de mieux visualiser la précision des approximants successifs. On peut alors légitimement se poser la question du nombre de chiffres qu'on donne après la virgule, mais je n'ai pas souhaité en supprimer avant d'avoir des avis complémentaires. Malheureusement, lors de cette opération, j'ai dû supprimer les lignes. Est-ce gênant ? On peut les ajouter, mais pour garantir un alignement correct, il faudra imbrique les <table>...</table>.

Enfin, il vaut mieux écrire 1  941  /  6  842 plutôt que 1941/6842. Mais j'ai parfaitement conscience que c'est une question de goût.

Si cette modification vous satisfait, je peux tenter d'autres modifications de typographie pour améliorer la mise en forme. Mais peut-être est-il plus sage d'attendre que vos travaux sur cet article soient achevés ?

Nefbor Udofix  -  Poukram! 28 juin 2008 à 14:26 (CEST)

Suite à une remarque de JLW qui me reproche de ne pas être assez consensuel, j'ai préféré reverter ma propre modification. Malheureusement, personne n'a proposé cette modification typographique à ma connaissance, et, si on applique la logique actuelle, cela signifie que les contributeurs n'y sont probablement pas favorables.

Je précise que toutes les remarques ci-dessus ne restent que des suggestions. A prendre ou à laisser. Nefbor Udofix  -  Poukram! 29 juin 2008 à 01:32 (CEST)

Sur tes modifs :

• j'ai bien aimé la présentation colorisée de l'algorithme d'Euclide mais ta modification avait aussi touché le fond avec introduction (par mégarde c'est évident mais cela va mieux en le disant, voir rem deNefbor plus bas ) d'une erreur et disparition de la première étape de calcul
• Je n'ai pas aimé ta modification sur le tableau des résultats. Je ne suis pas favorable à l'introduction d'espace entre la barre de fraction et les entiers et encore moins entre le point et la partie entière et la partie décimale (d'ailleurs pourquoi un point au lieu d'une virgule dans une version francophone ?)

Mais c'est vrai que tout ceci semble du détail quand l'objectif est plutôt de travailler sur le fond de l'article. Merci cependant de ta proposition (vraiment chouette la présentation de l'algorithme d'Euclide) HB (d) 29 juin 2008 à 10:14 (CEST)

Bonjour,

Je n'aurais pas dit "erreur" mais "erreur par mégarde". Comme tu peux certainement l'imaginer, chaque ligne du tableau est copiée-collée de la précédente. Un "3" s'est "transformé" en apparence en "1" car j'ai bêtement oublié de modifier le 1 en 3. Je note que tu as bien apprécié la présentation proposée de l'algorithme d'Euclide.

Pour le tableau des résultats, l'espacement peut (et doit certainement) être corrigé. Mais l'objectif était d'aligner les points, les virgules ou les barres de fraction (pourquoi ai-je mis un point ?). Peux-tu me dire si tu es favorable à cet alignement, ou si au contraire, préfères-tu l'ancienne version où les fractions et les nombres sont alignées à gauche au risque de créer des décalages ?

Voir Utilisateur:Nefbor Udofix/Typographie où j'ai tenu compte de tes premières remarques. J'attends d'autres retours. Pour ma part, je ne considère pas que la typographie relève du détail. Nefbor Udofix  -  Poukram! 29 juin 2008 à 12:35 (CEST)

Nous sommes plusieurs concernés par cet article, donc comme tu le dis toi-même il te faut attendre d'autres retours. Patience...;-) HB (d) 29 juin 2008 à 14:35 (CEST)

Le plan

D'abord, je remercie la duchesse pour l'important travail effectué sur la partie mathématique de la présentation des fractions continues (il faudrait plusieurs relecteurs attentifs pour vérifier que certaines coquilles ne subsistent pas). Maintenant, il me semble que le placement de la partie histoire dans cette section n'est pas très cohérente et je rejoins l'avis d' ambigraphe pour dire que, dans l'état actuel, les fragments d'histoire arrivent trop tôt : ils n'ont de sens que lorsqu'on a compris ce qu'est une fraction continue et quelle est sa relation avec le réel qu'elle représente. D'autre part, dans le plan actuel, le travail sur les réduites , l'encadrement et la convergences de celle-ci vers x n'apparaissent qu'à la lecture de l'article. Enfin, je continue à trouver inadéquat que l'application aux équations de Pell-Fermat apparaisse à deux endroits.Je propose donc un plan de ce type que l'on peut considérer comme indicatif, le prendre tel quel, s'en inspirer, ou le jeter à la poubelle. Il ne s'agirait en fait que de déplacer ou renommer les sections déjà existantes.

1. Présentation
   1. Notation
   2. De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues
   3. Développement en fraction continue d'un rationnel
   4. L'algorithme appliqué à un réel quelconque
   5. Illustration: développement en fraction continue de √2 (actuellement nommé L'algorithme appliqué à un nombre irrationnel : ${\sqrt {2}}$ - avec le problème de l'image qui disparait dans le sommaire)
   6. Réduites d'une fraction continue (actuellement nommé premières propriétés)
   7. Encadrement et convergence (actuellement nommé Développement en fraction continue d'un irrationnel positif) Seule partie à compléter à mon avis car on ne dit nulle part que les réduites d'un rationnel encadrent ce rationnel très finement)
   8. Représentation géométrique (je persiste à vouloir la mettre tard que je la trouve anecdotique)
2. Fragments d'histoire (ou Histoire des fractions continues)
   1. Motivation (si on tient à conserver le paragraphe qui n'emballe semble-t-il ni Jean-Luc, ni Ambigraphe, ni moi-même)
   2. Repères chronologiques (actuellement nommé fragments d'histoire)
3. Applications
   1. Identité de Bézout (si on tient à considérer cela comme une application)
   2. Automate planétaire
   3. Irrationnalité de e
   4. Meilleure approximation
   5. Nombre de Liouville
   6. Cas des nombres quadratiques
      1. Période
      2. Palindrome
   7. Équation de Pell-Fermat (où seraient regroupés les divers résultats disséminés dans l'article)
4. Autres résultats

On verra que je n'ai pas parlé des entiers quadratiques. En effet, je n'ai pas compris leur place. Personnellement, je n'y lis qu'une définition de ceux-ci et du groupe des unités (ce qui me parait annexe). L'utilisation des fractions continues dans ce domaine et allusif est non éclairant « Si historiquement, les fractions continues ont permis d'élucider la structure du groupes des unités d'un anneau d'entiers algébriques, la technique proposée n'est pas généralisable. ». Il faudrait donc éclairer d'avantage le point de vue fraction continue ou rester très allusif mais sans forcer le lecteur à essayer de comprendre une notion extérieure aux fraction continues (amha).

Que pensez-vous de ma proposition? HB (d) 29 juin 2008 à 09:54 (CEST)

Pour affiner la proposition de HB

La difficulté d'un tel article est le caractère hétérogène du niveau de savoir associé au concept. Le plan préconisé par HB possède l'avantage d'être plus accessible. En revanche, il ne répond pas à certaines objection. Même comme cela, plus d'un lecteur un peu néophyte sera dérouté par la complexité du paragraphe irrationnalité de e. Il cherche finalement essentiellement des informations sur les nombres rationnels. D'autres sont à la recherche d'informations sur les approximations diophantiennes ou les entiers quadratiques et seront un peu lassé par la trivialité de certains paragraphes sans trouver directement les informations qu'ils recherchent.

En conséquence, je serais plus drastique. Je mettrais carrément les informations sur les nombres quadratiques ou les approximations diophantiennes dans des articles à part, qui auront l'avantage d'une cohérence plus forte. Cela revient à reprendre le plan de HB et à réduire des paragraphes concernés en des résumés succints vers des articles détaillés.

La deuxième conséquence modifie un peu l'ordre des paragraphes. Pourquoi commencer par les notations ? Elles ne sont utilisées que pour les fractions continues généralisées et impose une complexité, qui me semble inutile pour 95% des lecteurs. Pour les 5% restants, ils seront bien pointer vers le bon paragraphe si la question se pose pour eux. Enfin, je suis partagé par la représentation graphique. Certains, plus algébristes, ne fonctionnent pas avec des images, pour d'autres, c'est une approche essentielle à la compréhension d'un concept. Si cette idée est partagée par d'autres, elle me semble digne d'intérêt. L'opinion de la duchesse est essentielle pour que je puisse avoir un avis définitif.

Reste alors à bien indiquer aux lecteurs où se trouvent les différentes informations, assez tôt dans l'article pour ne pas lasser les lecteurs plus experts.

En conclusion, j'aurai tendance à créer un article Fraction continue d'un nombre quadratique et Fraction continue et approximation diophantienne. Une fois ces articles créés WP me semble en mesure de répondre plus agréablement à un public varié. Cette proposition me semble un complément au plan de HB sans trop remettre en cause son esprit. On se dirige alors vers un article ayant un double but : introductif à la notion pour les néophytes et synthétique en pointant vers les bons articles pour les plus experts. Jean-Luc W (d) 29 juin 2008 à 12:40 (CEST)

Plan, contenu, etc...

Bonsoir à tous. Je serais assez d'accord pour les deux propositions d'articles de JLW, principalement en transportant le texte correspondant dans les deux articles à créer, et en laissant un ou deux résultats essentiels ici. Pour la place de l'histoire et des motivations : j'ai choisi leur emplacement de façon tout à fait pifométrique. Par conséquent, la proposition d'HB me convient. Il y a dans la biblio de maths que je fréquente une "History of Number Theory", que je vais aller consulter rapidement. --Sylvie Martin (d) 29 juin 2008 à 20:57 (CEST)

Des notations au début, il ne faut garder que celle dont on se sert tout le temps, avec les crochets. Quand j'ai rédigé l'autre jour, j'avais vaguement l'idée de reprendre les démonstrations, parce que j'aurais été pomper la présentation que j'ai lue dans le livre de Iosifescu et Kraaikamp, "Metrical theory of continued fractions". Mais cela aurait sans doute conduit à plein de conflits de notations et sans doute des fautes d'impression. J'ai donc renoncé, en plus j'ai passé beaucoup de temps à tout cela, il faut rester modéré. Je pense cependant qu'il y aurait à rendre la rédaction sur les réduites et la qualité de l'approximation plus percutante, et je ne voudrais pas détruire le boulot de JLW. Donc pour le moment, je me contente de réfléchir à la manière de procéder. Peut-être qu'en mijotant dans la touffeur de ma bonne ville, il va se développer quelque chose dans ma caboche. --Sylvie Martin (d) 29 juin 2008 à 21:03 (CEST)

En conclusion : je vote HB amendée par JLW. --Sylvie Martin (d) 29 juin 2008 à 21:04 (CEST)

J'oubliais : algorithme d'Euclide du PGCD en couleur. Très joli, mais à mon sens, il vaudrait mieux utiliser des nuances plus faciles à distinguer les unes des autres. Alignement des décimales, longueur des développements. L'alignement des séparateurs décimaux serait une très bonne chose, mais je n'ai pas su faire. La longueur des développements décimaux : se limiter à 11 décimales, ce qui est la précisions que j'avais sur la machine utilisée. Pour rigoler (???) j'ai cherché la période du dernier développement décimal, par des moyens théoriques. Longueur : 310, sauf erreur de ma part. Pas assez intéressant pour mettre tous les chiffres, bien que j'aie écrit l'algorithme qui permet de les produire. J'ai un peu souffert en faisant tout ça, parce que ce n'est pas mon rayon. Mais tant que les vieillardes cacochymes cherchent à se cultiver, y'a de l'espoir que leurs vieilles têtes grises fonctionnent encore --Sylvie Martin (d) 29 juin 2008 à 22:22 (CEST)

a propos de "identité de Bezout"

Je crois qu'il faut renommer en "equation de Bachet de Meziriac" ou "résolution de ax+by=c en nombres entiers" voire "solution particulière de ax+by=c en nombres entiers".

1. il ne s'agit pas à proprement parler de l'énoncé de Bezout traditionnel "a et b sont premiers entre eux ssi il existe x et y tels que ax+by=1"
2. il s'agit de construire une solution particulière de l'équation. Je rappelle que cela est nécessaire pour avoir la solution générale.

Claudeh5 (d) 2 juillet 2008 à 13:17 (CEST)

Pas de problème pour renommer en équation de Bachet de Méziriac à condition qu'une source valide ce nom. Sinon, j'aurai tendance à parler d'équation diophantienne linéaire. mais, je reconnais que Claude est moins pédant que moins. La deuxième remarque est clairement exacte et n'amène qu'un unique commentaire, l'article est à amender. Jean-Luc W (d) 14 juillet 2008 à 18:32 (CEST)

Nouvelle refonte

Lignes directrices

Trois points de vue me guident pour la nouvelle refonte :

• Il semble que quelques lecteurs ait omis de passer l'agrégation de mathématiques. Je reconnais que c'est tout à fait regrettable, mais il serait sage de faire un petit quelques chose pour ce qui finalement représente probablement une vaste partie des visites.

• Wikipedia est un projet encyclopédique. Ce qui signifie que le désir d'exhaustivité ne doit pas être totalement absent. Peinture signifie surement les trucs que l'on achète au supermarché et qui servent à faire des jolis dessins, cette définition n'est pas totalement encyclopédique. C'est pareil pour les fractions continues.

• Si un visiteur se donne la peine d'essayer de lire un article, autant qu'il apprenne quelque chose.

Le choix

La difficulté est que les trois points de vue sont contradictoires, une agrégation me semble le minimum pour comprendre au moins le dixième du savoir attaché à la question. Insérer un véritable savoir est long (un contributeur citait plus de 300 pages nécessaire pour étayer un article pas nécessairement plus vaste que celui-ci) et peu populaire. En bref, favoriser l'un des points de vue pénalise les deux autres.

La solution que je tente est celle de la multiplication des articles, soit maintenant un total de 9 dans la catégorie.

Pour les exhaustifs, je plaide coupable avec des circonstance atténuantes. Je propose en début d'article un tour d'horizon qui explique que les fractions continues c'est vaste. Qu'on y trouve un cas dit simple traité dans l'article, que le cas des nombres quadratiques, que celui des approximations diophantiennes et que celui des approximants de Padé est encore dans un autre article et que pour les proba il faut aller voir Khintchine qui a plein de choses passionnantes à raconter. Cela remplace la partie motivation, explique l'intérêt des notions et n'approfondit pas. Cela permet d'avoir un peu de matière à grignoter pour les experts sans qu'il soit nécessaire de se palucher un article entier d'un niveau qui n'est pas le leur.

Pour ceux qui ont omis de passer l'agrég, je compte m'appuyer sur le travail de Utilisateur:Sylvie Martin et pas forcément la version la plus courte. Le paragraphe précédent aura aiguillé les lecteurs de type Salle vers les différentes parties qui sont succeptibles de les intéresser.

Enfin pour que le lecteur puisse apprendre quelque chose, je compte faire un paragraphe propriété, plus théorique et qui explique ce qu'un homme bien né du XVII^e siècle savait sur le sujet (récurrence, suite alternée, caractère fini de la fraction dans le cas irrationnel). Cela donnerait quelque chose comme :

1 Tour d'horizon

2 Approche intuitive

De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues

Développement en fraction continue d'un rationnel

Une application sur un irrationnel π (avec des liens pour ceux qui veulent voir ce que cela donne sur √13 ou e)

Représentation géométrique

Repères chronologiques

3 Approche théorique

Notations et terminologie (autant grouper cela dans un paquet pour celui qui en a besoin mais qui ne souhaite pas lire l'approche intuitive)

L'algorithme appliqué à un réel quelconque

Réduites d'une fraction continue

Encadrement et convergence

4 Usage

Equations diophantiennes (on traite le cas linéaire et un lien redirige vers le cas quadratique)

Automate planétaire

5 Fractions continues généralisées

Exemple introductif l'équation de degré 2(on introduit le problème de la convergence)

Vocabulaire et premières propriétés motivation en rapide

Les modifications par rapports à HB sont la conséquence des différents niveau de lectures. Un lecteur plus avancé ne lira pas nécessairement l'approche intuitive, mais a besoin de connaitre les notations, s'il doit tout lire, il rale. L'algorithme abstrait n'est pas nécessaire pour une approche intuitive, l'illustration de la √2 est disponible ailleurs.

En l'attente de vos différentes remarques Jean-Luc W (d) 14 juillet 2008 à 18:32 (CEST)

Réactions

Ça me paraît très bien. Peux-tu mettre un lien sur la nouvelle catégorie? Comme ça, on pourra aller v oir tous les articles obtenus par découpage. Bon courage, --Sylvie Martin (d) 14 juillet 2008 à 19:14 (CEST)

Tes désirs sont des ordres. Je ne met pas le lien ici, sinon la page apparaîtra dans la catégorie, mais si tu cliques sur Fraction continue à la fin tu tombes sur la catégorie. Jean-Luc W (d) 14 juillet 2008 à 19:31 (CEST)

Tour d'horizon

Le paragraphe :

« L'analyse complexe a pour objet l'étude des fonctions de la variable complexe à valeur complexe, ayant une bonne propriété de régularité appelée dérivabilité. Une bonne méthode d'étude consiste à construire une suite de polynômes de degré de plus en plus élevé et appelée série entière. Elle converge vers la fonction cible. Une spécificité fréquente, pour ce type de fonction est de posséder des pôles, c'est à dire des espèces de montagnes qui grimpent jusqu'à l'infini. Sa série entière ne permet pas de voir plus loin qu'un pôle. Au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, une démarche analogue est possible avec des quotients de polynômes. On construit ainsi des fractions continues de polynômes appelées approximants de Padé. Ces fractions continues de fonctions possèdent le mérite de permettre de voir l'autre versant des pôles. »

me semble tomber comme un cheveu sur la soupe dans le paragraphe Tour d'horizon. On ne voit pas le rapport entre l'analyse complexe et les fractions continues, ni pourquoi cette introduction aux fonctions holomorphes et aux séries entières.--Cbigorgne (d) 16 juillet 2008 à 13:14 (CEST)

Est-ce plus clair maintenant ? Jean-Luc W (d) 16 juillet 2008 à 14:09 (CEST)

La motivation est claire. Merci.--Cbigorgne (d) 16 juillet 2008 à 14:18 (CEST)

a_j non nuls pour j >0.

Cette condition semble être oubliée à plusieurs endroits

• dans la démonstration de "tout rationnel possède un développement en fraction continue fini."
• dans la section "Algorithme de développement en fraction continue pour un réel"

Pour le second point, un remarque sur le fait que 1/(xj - aj) est toujours plus grand que 1 suffit je pense. Mais pour le premier point, il faudrait modifier la démonstration. Il me semble que cette modification est nécessaire mais avant de l'entreprendre j'aimerais vos avis. HB (d) 25 août 2008 à 11:29 (CEST)

Je partage l'opinion d'HB, cela ne peut nuire. Jean-Luc W (d) 29 août 2008 à 15:16 (CEST)

Trois remarques

Message transféré le 24/2/14 de Discussion:Fraction continue/À faire :

• Une remarque sur l'article fraction continué qui est sous jacente dans tout le texte:à la différence des systèmes de numérotation usuels qui ne peuvent pas représenter tous les rationnels avec un nombre fini de nombres(par exemple 1/3 DANS LE SYSTEME DECIMAL)les fractions continuées le font ;c'est à mon sens peu clairement dit dans le "tour d'horizon"
• une deuxième remarque:il manque une comparaison explicite entre la rapidité de convergence entre une fraction continuée et la représentation en système de numérotation pour approcher un nombre
• une troisième:extension des fractions continuées dans les corps de nombres algébriques:y a t il eu des travaux sur le sujet, et si oui , amènent ils à des résultats intéressants?

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 86.195.11.136 (discuter), le 25 septembre 2013.

Fraction continue généralisée et équation du second degré

Je n'ai guère de compétence concernant les fractions continues généralisées d'où mon absence de relecture sur cette section - Merci Anne d'avoir rectifié une erreur vieille de 6 ans - Cependant, une lecture un peu plus attentive de la section me pose un problème de cohérence : on définit des réduites dont le dénominateur peut éventuellement être nul (si $\lambda _{1}^{n}=\lambda _{2}^{n}$. Il semble donc qu'avant de parler d'un problème de convergence, il faudrait évoquer le problème d'existence. À moins que dans les fractions continues généralisées, on admette les divisions par 0 ? Je sais que cela ne changera pas la conclusion sur la convergence - le cas $\lambda _{1}^{n}=\lambda _{2}^{n}$ ne se produisant jamais dans le cas où l'équation admet deux racines réelles non opposées - mais cela reste gênant dans l'articulation de la démonstration. HB (discuter) 25 février 2014 à 08:46 (CET)

Je m'étais posé la même question hier soir (et pas que dans cette sous-section, mais dans toute la section "Fraction continue généralisée") mais je m'abstiens de toute improvisation là-dessus : je n'y connais rien et n'ai pas de doc pour l'instant. J'irai peut-être en chercher sur WP.en. Là-bas, ils disent juste (à la fin de l'intro) "It may diverge by oscillation (for example, the odd and even convergents may approach two different limits), or it may produce an infinite number of zero denominators". Au moins, j'ai viré les absurdités ce matin (en même temps que tu composais ce message). Anne (discuter) 25 février 2014 à 09:20 (CET)

P.S. Mince, tu avais raison, il restait encore des absurdités. J'ai fignolé.

Jusqu'à hier on lisait ici (mais on lit aussi ailleurs) qu'Euler avait prouvé cela, en 1748, dans le chap. 18 de son Introductio mais j'ai beau chercher, je ne vois qu'une brève allusion (p. 314). L'a-t-il vraiment démontré ? mais alors où ? Anne (discuter) 25 février 2014 à 12:07 (CET)

Merci pour la nouvelle mouture. Concernant Euler, je suis d'accord que la formulation précédente donnait trop d'importance à Euler sur ce point précis. Le chapitre 18 traite de la relation entre développement en série et fraction continue généralisée. De ce que j'ai compris (mon allemand est loin)dans le paragraphe 364, p. 297, il précise que l'on est sur de la convergence quand tous les numérateurs des fractions continues sont 1 et p.314 il dit que la méthode conduisant de l'équation du second degré à la fraction continue généralisée n'as pas grande utilité car le nombre b est différent de 1. Je trouve donc la nouvelle référence à Euler beaucoup plus prudente. HB (discuter) 25 février 2014 à 18:05 (CET)

Sous-section Fraction continue#Équation diophantienne linéaire

À remplacer par un {{Section vide ou incomplète}} dans la section "Usages" : entièrement d'accord avec les protestations répétées de HB et Proz, toujours pas prises en compte depuis le « Personnellement je trouve l'idée de Claudeh5 bien sympathique et je suis sur que nous allons trouver une rédaction qui mette bien en valeur la relation avec l'algorithme d'Euclide et évite l'écueil cité par HB » du 17 juin 2008. Il serait par contre utile de créer une section qui expose très précisément (avec des formules liant les deux, que je n'arrive à trouver ni dans mon neurone, ni sur le ouèb) l'équivalence entre l'algorithme d'Euclide étendu et le développement en fraction continue d'un rationnel. Anne (discuter) 26 février 2014 à 21:58 (CET)

Bon il me semble qu'une partie de l'explication est fournie dans Fraction continue#Développement en fraction continue d'un rationnel. Pour le moyen de trouver les réduites, il y a peut-être une propriété qui prouve directement le résultat mais voilà une explication qui vaut ce qu'elle vaut. Dans l'algorithme d'Euclide étendu#L'algorithme, on peut exprimer les différents restes comme combinaison linéaire des nombres p et q de départ.

Quand $p_{n}=a_{n}p_{n+1}+p_{n+2}$ avec $p_{0}=p,\,p_{1}=q$, on a $p_{n+2}=px_{n}+qy_{n}$ où les coefficients sont données par la relation de récurrence suivante:

${\begin{aligned}y_{-2}=0,\quad &y_{-1}=1,\quad &y_{p}=-a_{p}y_{p-1}+y_{p-2}\\x_{-2}=1,\quad &x_{-1}=0,\quad &x_{p}=-a_{p}x_{p-1}+x_{p-2}.\end{aligned}}$

Quant aux réduites de p/q elles s'obtiennent à l'aide des relations de récurrence :

${\begin{aligned}h_{-2}=0,\quad &h_{-1}=1,\quad &h_{p}=a_{p}h_{p-1}+h_{p-2}\\k_{-2}=1,\quad &k_{-1}=0,\quad &k_{p}=a_{p}k_{p-1}+k_{p-2}.\end{aligned}}$en espérant ne pas me tromper dans le départ des indices

Il doit être facile de démontrer que $x_{n}$ et $y_{n}$ sont de signe opposé et ont pour valeur absolue respectivement $k_{n}$ et $h_{n}$

Une source papier serait surement plus claire et préférable. Cependant j'avoue que je n'ai pas vraiment envie de reremettre le couvert (voir 2005 et 2008) sur cet article, même si j'encourage vivement d'autres à le faire. HB (discuter) 26 février 2014 à 23:52 (CET)

Fraction continue généralisée

Il serait peut-être préférable d'homogénéiser les notations dans les fractions continues généralisées : dans l'intro, on a remplacé les 1 par des c_i, dans la tour d'horizon on parle des a_n et des b_n, dans la section consacrée à ces fractions, les a_n sont devenus des b_n et les constantes 1 ont été remplacées par des a_n. C'est localement cohérent mais globalement disgracieux. HB (discuter) 13 mars 2014 à 14:56 (CET)

Moi aussi ça me gêne, comme j'ai signalé dans Fraction continue et approximation diophantienne (note 17 et § Résultat de Lambert). J'avais remplacé les b_i par des c_i dans l'intro pour que l'incohérence globale (datant de 2009) ne soit pas trop flagrante. Le problème est qu'à ma connaissance, les notations usuelles sont avec des a_n au dénominateur pour les fractions simples, mais au numérateur pour des fractions généralisées. Anne (discuter) 13 mars 2014 à 17:26 (CET)

P. S. Voici cependant au moins un « livre » : (en) Paul Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis: On the incredible infinite, 2006 (lire en ligne) (une mine, d'ailleurs) dont l'ex chapitre 7 (devenu 8) fait le choix cohérent initial d'ici. Au fait, il serait peut-être opportun de scinder et créer Fraction continue généralisée ? de plus, ça pourrait être une solution au pb précédent : respecter ici, à peu de frais, le choix initial, mais pas forcément dans le nouvel article, avec dans ce cas des notes de mise en garde des 2 côtés.

Je suis assez favorable à la scission (comme chez nos amis anglophones). Autrement, cela ne me gène pas que les fraction continues soient données par des an et les fractions continues généralisées par des an et bn où les an apparaissent au numérateur, pourvu que la même notation soit émployée tout au long de l'article et qu'éventuellement, une note de bas de pahge rappelle les conventions. HB (discuter) 14 mars 2014 à 15:17 (CET)

Intention de contester le label BA

{{Intention de contester le label|BA|— Cantons-de-l'Est ^p|d|d [‌sysop] 5 mars 2021 à 16:08 (CET)}}

L'article comprend 30 références distinctes. 17 références servent à sourcer la seule section Repères chronologiques et ne sont pas réutilisées ailleurs. Au moins une dizaine de paragraphes ne sont pas sourcés, et au moins une vingtaine de phrases. — Cantons-de-l'Est ^p|d|d [‌sysop] 5 mars 2021 à 16:08 (CET)

Manifestement le contenu mathématique est souvent du très standard, et les sources se trouvent assez facilement en bibliographie (par exemple Hardy & Wright devrait en donner pas mal). Je suis d'accord que ça serait mieux avec des références, mais ça ne se fera pas tout seul, je ne sais pas si ton intention et de les ajouter, en tout cas il ne faut pas attendre des rédacteurs initiaux qu'ils le fassent : ils ne sont pas (plus) présents. Dans les rares choses qui ne sont pas si évidentes à sourcer (me semble-t-il) : je ne sais pas d'où vient la définition "formelle" du 4 (même si elle n'est pas surprenante). je ne sais pas non plus d'où vient l'illustration géométrique (qui mériterait d'être réduite mais visible, enfin si elle est sourçable, plutôt qu'en boîte déroulante).

Après, même si ces questions étaient réglées je ne suis pas convaincu, après une lecture rapide de l'article, qu'il faille le distinguer par un label. Proz (discuter) 19 avril 2021 à 18:41 (CEST)

Proz, Je comprends. — Cantons-de-l'Est ^p|d|d [‌sysop] 2 mai 2021 à 13:57 (CEST)

Histoire (2)

La section "Histoire" s'appelle bizarrement "Repères chronologiques" (ce sont plus que des repères). Il y a peut-être surinterprétation de sources (qui ne sont pas toujours données sérieusement) ? En particulier Aryabhata utilise-t-il vraiment des fractions continues ? Je ne vois rien de tel dans l'article Aryabhata, ni dans les sources données sur cette page : Pfloker 2007, 2009, Complete Dictionary of Scientific Biography, Encyclopædia Britannica. Il s'agit peut-être de parenté entre l'algorithme utilisé par Aryabhata pour la résolution d'équations Diophantiennes linéaires à deux inconnues et l'algo d'Euclide étendu ? Mais à quel point ? Pour Brahmagupta et Bhaskara il n'est pas dit clairement qu'ils utilisent des fractions continues, je ne crois pas que ce soit le cas, c'est assez ambigu quand même. Quitte à parler des précurseurs, il faudrait aussi parler d'Euclide, et d'autres (les nombres diagonaux et latéraux de Théon de Smyrne ?). Proz (discuter) 19 avril 2021 à 16:19 (CEST)

Le germe de la partie historique est de mon fait en 2005 (cela fait un bail...). La section portait modestement le nom de Fragments d'histoire, je ne sais pas quand le titre est devenu repère chronologique, titre qui est resté tandis que la section augmentait. En ce temps là, je ne pensais pas toujours à lier mes sources mais je les indiquais : il s'agit d'un article de Claude Brezinski, heureusement archivé par wikiwix Ces étranges fractions qui n’en finissent pas. Mais il n'est pas le seul à citer Aryabatha voir ce document de C.D. Olds Continued fractions p. 18/85 (ou scann 28-29) ou encore Serge mehl [4]. Comme je ne suis pas historienne, ni spécialiste des mathématiques indiennes, je peux difficilement mettre en doute ces affirmations sauf si un historien d'Aryabhata affirme que cette attribution est imprudente même si je partage ton doute sur une utilisation effective par Aryabhata. HB (discuter) 28 mai 2021 à 13:24 (CEST)

Ok, il m'avait semblé que Brezinski disait autre chose dans son bouquin (en ref. sur l'article), je n'ai pas relu pour te répondre. Pour Olds et Mehl ce ne sont pas des historiens. Il me semble qu'en trouvant de bonnes références, on pourrait trouver décrit ce qu'il faisait (qui est probablement en rapport avec un certain usage des fractions continues, même si Plofker ne le mentionne pas, alors qu'elle le mentionne pour Madhava). Proz (discuter) 28 mai 2021 à 14:34 (CEST)

Aryabhata est cité dans le livre de Claude Brezinski page 30 et 31 mais cela me semble se référer plus à l'algorithme d'Euclide. Cependant je ne comprends rien à la recette d'Aryabhata c'est vexant de s'apercevoir qu'on a le cerveau moins agile. Travaille à ta guise sur l'article en dégonflant nos prétentions. Si je trouve une source d'historien sur Aryabhata et les fractions continues, je viendrait la glisser ici. HB (discuter) 28 mai 2021 à 19:18 (CEST)

Suite de mes recherches et du rôle ambigü des fractions continues dans le travail d'Aryabhata et sa méthode du «pulvérisateur» ou «broyeur». Ce document que je ne sais pas comment ouvrir. Dans les annexes (que j'ai su ouvrir) Rodet semble dire explicitement que de nombreux historiens pense qu'il utilise les fractions continues mais que lui n'est pas d'accord (lire le document p. 28 ou Rodet 1879 p. 46). Si cela peut t'éclairer. HB (discuter) 29 mai 2021 à 10:16 (CEST)

Merci, très intéressant. A mon avis il n'y a pas autre chose que le résumé et l'annexe (peut-être des actes à venir du colloque ?), et donc tu ouvres tout ce qui est "ouvrable", je crois. Quand on lit la traduction de l'annexe, la p. 6, fait effectivement furieusement penser aux fractions continues, mais il l'utilise finalement comme l'algo d'Euclide étendu, enfin je crois. Pas si simple. Peut-être en regardant les articles cités par Brezinski (pour savoir si l'opinion de Rodet est encore d'actualité). Proz (discuter) 29 mai 2021 à 17:06 (CEST)