Pôle (mathématiques)

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction $z\in \mathbb {C} ^{*}\mapsto z^{-n}\in \mathbb {C}$, où n est un entier naturel non nul.

Représentation de la fonction f : z $\mapsto$ 1 / (1 + z²) avec deux pôles d'ordre 1, en z = i et z = -i.

Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe.

Définition et propriétés

Soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et $f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f (ou que f admet un pôle en a) s'il existe une fonction g holomorphe sur un voisinage V ⊂ U de a telle que $g(a)\neq 0$ et un entier n ≥ 1 tels que pour tout z dans V\{a} on ait

$f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$.

Une telle écriture est alors unique et l'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé parfois pôle simple.

Un pôle de f est un point en lequel |f| tend vers l'infini.

Le point a est un pôle de f si (et seulement si) au voisinage de a, f n'est pas bornée et 1/f est bornée.

Exemples et contre-exemples

• La fonction

$f(z)={\frac {3}{z}}$

a un pôle d'ordre 1 (ou pôle simple) en $z=0$.

• La fonction

$f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}$

a un pôle d'ordre 2 en $z=5$ et un pôle d'ordre 3 en $z=-7$.

• La fonction

$f(z)={\frac {\sin z}{z^{3}}}$

a un pôle d'ordre 2 en $z=0$, car $\sin z$ est équivalent à $z$ au voisinage de $z=0$ (cela se montre par exemple en utilisant la série de Taylor de la fonction sinus à l'origine).

• Contrairement aux apparences, la fonction

$f(z)={\frac {\sin z}{z}}$

n'admet pas un pôle en $z=0$, car en raison de l'équivalent évoqué à l'exemple précédent, $f(z)$ est équivalent à 1 au voisinage de $z=0$. En particulier, $f$ reste bornée au voisinage de l'origine, donc $z=0$ n'est pas un pôle de $f$. On peut alors prolonger $f$ en une fonction holomorphe sur $\mathbb {C}$ tout entier. On dit que $z=0$ est une singularité effaçable de $f$.

• La fonction

$f(z)=\exp \left({\frac {1}{z}}\right)$

n'admet pas un pôle en $z=0$. En effet $f$ et $1/f$ sont toutes les deux non bornées au voisinage de $z=0$. On parle alors de singularité essentielle et non plus de pôle.

Voir aussi

• Zéro (analyse complexe)
• Résidu (analyse complexe)
• Fonction rationnelle