Discussion:Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5

Justification du revert suivant

à la portée de Fermat

xⁿ + (zⁿ - xⁿ) = zⁿ et xⁿ + yⁿ = (xⁿ + yⁿ) sont des évidences. Quand (zⁿ-xⁿ) ou (xⁿ+yⁿ)sont des identites remarquables, on peut les étudier sans risque d'erreur.

Pourquoi pas, mais il faut alors indiquer où réside la difficulté, sinon le lecteur aura bien du mal à comprendre pourquoi l'équation se révèle si difficile.

n=2

(p+1)²+(q+1)² = 2(2p²+2p+2q²+2q+1) ne peut être un carré : z est impair. On utilise donc la première identité, en appelant x² le terme qui est impair x²+(z+x)(z-x)=z² les deux parenthèses sont paires. En posant z+x=2u², z-x=2v², (avec u>v, u et v premiers relatifs, uv pair), on obtient la solution générale x=u²-v², y=2uv, z=u²+v²

Remarques z étant une somme de carrés, son carré aussi, puis le carré du carré, etc.

u²+v² = (u+v)²-2uv = (u-v)²+2uv, donc 2(u²+v²) = (u+v)²+(u-v)²

Ce cas est déjà traité dans l'article triplet pythagoricien avec plus de précision et cité dans l'article.

Personnellement, je ne suis pas du tout favorable à ce qu'on mélange la géométrie et la théorie des nombres, plus exactement les problèmes "en nombres entiers" avec les autres. Le théorème de Pythagore résout le problème géométrique des triangle rectangles. Très bien. Maintenant le problème x²+y²= z² avec (x,y,z) entiers non nuls n'est pas un problème de géométrie. Et il me semblait d'autre part que ce n'est que vers 1200 que Léonard de Pise avait montré qu'il n'y avait pas d'autre solution que les couples pythagoriciens.Claudeh5 5 octobre 2007 à 19:44 (CEST)

n=4

déjà éliminé (une autre démonstration avec z^4-x^4 est possible).

Des remarques pour l'aspect élémentaire ont été ajoutés.

n impair

xⁿ+yⁿ = (x+y)(x^n-1-x^n-2y+...-xy^n-2+y^n-1) On ne peut obtenir de valeur convenable que pour (x+y)

Je ne vois pas bien le sens à donner à cette proposition.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Jean-Luc W (discuter), le 25/3/2007.

Courbes elliptiques

Il faudrait au moins mentionner les outils entrant en jeu pour la 'vraie' démonstration : courbes elliptiques sur des corps finis, théorème de Ribert et fonction L, histoire que des gens que ça intéresse puissent aller chercher au bon endroit

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.238.72.3 (discuter), le 22/4/2009.

Les gens trouveront ça dans l'article principal.

Suite à cette discussion là-bas et vu l'essentiel du contenu de cet article-ci (dont la structure n'a pas changé depuis 2008), je propose plutôt de le renommer : « Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5 ».

Anne 22/3/15

OK pour moi. Marvoir (discuter) 22 mars 2015 à 11:34 (CET)

Je renommerai bientôt (si ça n'a pas été fait d'ici-là, et sauf avis contraire). Je suis consciente que le titre ne représente pas la totalité du contenu mais seulement l'essentiel, mais je n'ai pas de meilleure idée. Anne 28/3/15

Passage obscur

A propos de la solution pour l'exposant 5, on lit dans l'article :

"Cependant, cette fois-ci et à la différence du cas où n est égal à trois, l'extension cyclotomique associée, c’est-à-dire correspondant au corps de décomposition du polynôme cyclotomique n'est ni euclidien ni factoriel. Il devient nécessaire de considérer l'anneau des entiers du corps Q[√5] et non Q[i√5]."

L'anneau des entiers du corps Q[√5] est bel et bien euclidien. Voir R. Goblot, Algèbre commutative, Masson, 1997, exerc. 18, p. 56. C'est ce qui importe si on raisonne dans cet anneau. Quant au 5^e corps cyclotomique, son nombre de classes est égal à 1 (Borevitch et Chafarevitch, Théorie des nombres, p. 472), donc l'anneau de ses entiers est principal, donc factoriel. (Je ne sais pas s'il est euclidien, peu importe.) Le fait important, me semble-t-il, est que le sous-corps quadratique du 5^e corps cyclotomique, à savoir le sous-corps Q[√5] est réel, ce qui, comme dit dans l'article, rend la structure de son groupe des unités plus compliquée.
Marvoir (d) 12 décembre 2009 à 15:54 (CET)

Écriture des inconnues x, y, z

N'y aurait-il pas intérêt (pour le lecteur) à utiliser la même écriture (police et taille) pour les trois inconnues, dans le corps du texte (x, y, z) et dans les formules (comme dans $x^{n}+y^{n}=z^{n}\;$) ?

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Fabrice Dury (discuter), le 29/3/2011.

Démonstration élémentaire

Elle se trouve ici : (lien externe retiré par Touriste (d) - voir l'historique) --Roland Franquart (d) 5 août 2011 à 23:10 (CEST)

Cette démonstration n'a pas lieu de figurer sur Wikipédia. Elle n'a pas été validée par la communauté scientifique (ou alors, donnez des preuves), et est donc à considérer comme du travail inédit. Mais vous le saviez déjà... Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 5 août 2011 à 23:20 (CEST)

Tout lecteur est à même de valider cette démonstration, très simple, qui ne comporte que 3 lignes de calcul... Roland Franquart (d) 6 août 2011 à 11:20 (CEST)

Ceci n'a rien à voir avec la politique d'insertion de liens externes sur Wikipédia. Touriste (d) 6 août 2011 à 12:09 (CEST)

J'ai quand même essayé de lire ladite page : en général on trouve facilement les erreurs dans ces "démonstrations" ; mais ici c'est particulièrement illisible. Je me suis attardé sur la partie V qui prétend produire une preuve : on y décèle au plus du blabla autour du développement du binôme, un truc archi classique. Mr Franquart, pouvez vous nous donner vos 3 lignes de calcul, on vous dira où vous vous trompez. Je sais bien qu'en maths il n'y a pas d'arguments d'autorités, mais par contre un peu d'humilité devant tous les types bien plus doués que nous qui nous on précédé s'impose : s'ils n'ont pas trouvé, nous non plus ! Par contre il y a quelque temps une série d'articles publiés sur archive prétendait arriver à une nouvelle preuve du théorème de Fermat-Wiles. J'avoue avoir eu la flemme de le lire, mais l'auteur semblait développer toute une théorie sur des fonctions analytiques d'une variable non pas complexe, ni quaternionnique mais vivant dans une 2^n-R-algèbre... C'était rédigé en tex ça sentait le truc un peu sérieux, quelqu'un en a enendu parlé ?

En tout cas je sais bien que ce n'est pas l'endroit pour polémiquer sur ces fausses démonstartions, mais il ne faudrait pas laisser entendre qu'elles sont surement vraies et que c'est juste parceque c'est du TI qu'on en veut pas ici.Alexandre alexandre (d) 6 août 2011 à 12:27 (CEST)

Désolé de jouer le garde-chiourme mais non non non surtout pas ici. Cette page sert à travailler l'article de Wikipédia consacré aux « Démonstrations du dernier théorème de Fermat » et n'a pas a être utilisée comme support d'un échange ayant un autre objectif - je ne serais pas si cassant s'il n'y avait pas déjà eu des débordements sur diverses pages de discussions. Si tu souhaites dialoguer avec M. Franquart sur le fond de ses travaux, je te signale la possibilité de le faire sur cette page d'un autre wiki (www.wikibuster.org/index.php?title=FERMAT_TÉMOIGNAGES) à copier-coller pour cause de mise en liste noire de ce site. Sur le truc sur Arxiv, je n'en sais rien et suis moins strict pour dire surtout n'en parlons pas (pas encore de débordements constatés), mais ça me semble quand même hors sujet ici... Touriste (d) 6 août 2011 à 12:58 (CEST)

Et bien, ça a bougé, par ici... Je me permets d'ajouter quelques remarques, ayant particulièrement peu goûté le commentaire de modification. Je reviendrai plus tard sur ce dernier point.

D'abord sur la forme : une démonstration, même vraie, devrait être d'abord reconnue par la communauté mathématique avant de se retrouver ici, car après tout ce théorème est "célèbre". Si une démonstration juste apparaissait au grand jour, nul doute qu'elle serait popularisée dans la presse.

Après sur le fond, le site et la démonstration me semblent pour le moins douteux : les notations sont pour le moins peu orthodoxes, les sommes s'écrivent tantôt avec un S, tantôt un sigma et manquent de lisibilité... le développement du binôme dans le NB 3 comporte une erreur : je cite le terme générique : a(n, i) z’ⁱz’’^n-I, bien entendu, ce devrait être "n-i" (erreur à l'écriture, qui n'impacte pas la suite, donc rien de méchant, mais ça participe au doute sur le sérieux de cette page). Effectivement, comme le dit Alexandre alexandre, il y a du blabla inutile autour du binôme. Enfin, les deux propriétés (indispensables à la démonstration) pourraient être interprétées comme des "parachutages".

Maintenant, l'utilisation d'un argument d'autorité de style "un cycliste ne peut pas statuer sur le travail d'un chercheur en mathématiques" est déconseillée. Surtout quand ce "cycliste" a pris le temps de lire la page, et de considérer que la démonstration fait pour le moins léger pour un chercheur en mathématiques (cf paragraphe précédent, et il n'y a pas besoin d'avoir bac+n pour le réaliser). Et le fait d'adorer le cyclisme (ce qui est différent d'"être un cycliste") n'empêche pas d'avoir fait des études... justement, le terme "parachutage" est tiré de mes études... pour être plus précis c'est mon prof de maths en MP qui l'utilisait.--Vierlio (d) 6 août 2011 à 16:18 (CEST)

Merveilleuse démonstration

Combien faut-il mettre de références pour le fait que Fermat ait affirmé avoir une "merveilleuse démonstration" ? Il suffit de chercher Fermat+"merveilleuse démonstration" pour trouver des tas de références livresques faisant autorité. Et on pose un refnec en se basant sur un forum... http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=D%C3%A9monstrations_du_dernier_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat&oldid=68164414 je révoque en attendant des sources sérieuses affirmant le contraire. ---- El Caro ^bla 6 août 2011 à 20:11 (CEST)

Ne nous pressons pas (ah qu'on est plus tolérant pour les utilisatrices chevronnées que pour les IPs). Certes ta contradictrice pointe un forum dans son commentaire de diff, mais un des commentaires les plus argumentés de ce forum est signé de Franz Lemmermeyer, dans un contexte où une usurpation d'identité est infiniment invraisemblable ; lequel Franz Lemmermeyer fournit un CV qui montre qu'il a travaillé professionnellement en histoire de la théorie des nombres : [1]. Il me semble donc courtois de laisser le "ref nec" pendant les échanges qui vont suivre, même si c'est très mineur, ils peuvent se poursuivre qu'un modèle enlaidisse ou non l'article principal. Simplement je souligne que l'argument selon lequel c'est « sur un forum » est un peu léger : l'identité de celui qui parle compte tout de même, même si ses propos de forum pèsent bien sûr moins que ce qu'il peut avoir publié dans une revue soumise à comité de lecture. Touriste (d) 6 août 2011 à 20:20 (CEST)

S'appuyer sur l'identité _supposée_ d'un _unique_ chercheur s'exprimant (peut-être, si c'est lui) sur un _forum_ me semble plus que léger.

Si ce chercheur est sûr de lui et fait autorité, il a publié ses résultats qui ont été repris et acceptés par ses collègues, on nous fournira donc aisément des sources en papier avec des numéros de page dedans, je n'en doute pas. En attendant, on conteste une affirmation généralement reconnue avec un forum, ce qui n'est pas plus acceptable qu'avec un site perso.

Et un spécialiste de théorie des nombres n'est pas un historien des maths. ---- El Caro ^bla 6 août 2011 à 20:33 (CEST)

Regarde bien en bas de sa liste de publications : il a fait pas mal d'histoire aussi. Cela étant, l'histoire des maths ne me fascine pas, je suis là un peu par hasard, je te laisse affiner une formulation compatible avec les sources secondaires, sans s'interdire d'utiliser les sources primaires ou les remarques intelligentes lues sur le web pour la rédiger. L'histoire des maths n'est pas parmi mes dadas, et entre utilisateurs de bonne foi vous arriverez (probablement) à converger. Touriste (d) 6 août 2011 à 20:36 (CEST)

PS : pour ceux qui veulent suivre et seraient paumés, la page de forum dont nous parlons a été citée par Anne Bauval dans un commentaire de diff, revoilà un lien vers celle-ci : [2]. Touriste (d) 6 août 2011 à 20:41 (CEST)

S'il y a un tas de références livresques faisant autorité, il serait bien de placer une référence moins obscure que celle qui est dans l'article. Je préfère la référence qui est donnée dans Dernier théorème de Fermat. D'après ce que dit Franz Lemmermeyer sur mathoverflow, on n'a pas l'exemplaire original de Fermat, mais seulement la ré-édition par son fils. Personnellement cela me suffit pour croire ce qu'écrivent la plupart de gens sur ce sujet. Mais si tu as une référence encore plus solide, elle sera la bienvenue. Depuis quand on doit sourcer les demandes de sources ? Enfin sur le forum en question, ce n'est pas _un forum_ quelconque. Tu devrais prendre un peu de temps pour le parcourir, c'est très instructif mathématiquement. Quant à l'identité supposée, pour avoir lu certains de ses messages, il faut être un vrai chercheur confirmé pour les écrire. Je ne vois pas l'intérêt d'une usurpation pour donner des réponses pointues (mais cela n'empêche pas que des gens postent sous pseudo pour des raisons parfois évidentes). Liu (d) 7 août 2011 à 00:06 (CEST)

A disparu, en même temps que ma demande de source, son objet principal : la date 1637. Il me semble que WP doit à la fois faire état des rumeurs très répandues mais non sourcées et de leur manque de sources. D'après la discussion sur Math Overflow, cette datation a l'air courante bien que jamais sourcée, et même l'existence de la note manuscrite - quelle que soit sa date - est en effet reprise partout (Dickson, Weil…) mais avec comme seule "source" (?) le témoignage de son fils, donc sujette à caution comme le souligne Franz LemmermeyerFranz Lemmermeyer : Not only do we not know the date, we don't even know whether he wrote the remark at all. For all we know it might have been invented by his son Samuel, who published his father's comments. Anne Bauval (d) 7 août 2011 à 01:21 (CEST)

J'ai enlevé la date, car elle n'est pas donnée par les sources.

Le problème n'est pas que la note soit "vraie", mais que toutes les sources livresques qu'on trouve affirment, sans douter, qu'il a affirmé ça. Supposer le contraire est un WP:TI, peut-être juste, mais qui n'a pas sa place ici. Même mentionner ce forum serait contraire à notre fameuse WP:NPOV étant donné que sa thèse est ultra-minoritaire.

Alors pour affirmer le contraire de ce qui est reconnu partout, on attend que la nouvelle thèse soit reconnue, quelles que soient nos opinions personnelles. ---- El Caro ^bla 7 août 2011 à 09:46 (CEST)

┌─────────────────────────────────────────────────┘
Je n'ai pas affirmé, ni ici ni dans l'article, le contraire de ce qui est écrit partout : j'avais demandé une référence pour 1637. Tu as supprimé cette date pour te débarrasser du refnec et tu dis maintenant qu'elle n'est "pas donnée par les^{[Lesquelles ?]} sources". Cette date étant couramment citée, il vaudrait mieux exhiber un bouquin reconnu qui la mentionne. Pour l'existence même de la note, ce « toutes les sources livresques qu'on trouve » serait à creuser aussi : les plus sérieuses mentionnent-elles, à l'appui, ne serait-ce qu'une citation de Fermat-fils ? si oui : laquelle, et sinon : le dire. Enfin, notre article gagnerait à mentionner la citation démystificatrice de Weil (reproduite à la fin de la discussion du "blog"). Anne Bauval (d) 7 août 2011 à 11:16 (CEST)

Le refnec englobait toute la phrase, puis toute une partie, pas seulement "en 1637".

J'ai enlevé la date car le site de référence d'histoire des maths donne la citation sans date : http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ferlmat.html et pas mal de sources sont prudentes à ce sujet. Mais on trouve des sources donnant cette date aussi. La citation, par contre, n'est jamais contestée à ma connaissance (sauf sur le forum cité).

Pour avoir la citation en latin et en français, une notice sur le site de l'IREM : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/TH039.htm En cherchant "Hanc marginis exiguitas non caperet" sur google books ou scholar, on trouvera aisément de nombreuses sources, y compris des sources affirmant 1637 en cherchant "Hanc marginis exiguitas non caperet"+1637, d'autres mettant "autour de 1637", d'autres encore ne mettant pas de date.---- El Caro ^bla 7 août 2011 à 12:19 (CEST)

A propos de cette merveilleuse démo qui ne tient pas dans la marge, on peut lire dans les notes historiques d'un des Bourbaqui, que Fermat aurait surement factoriser le morceau en a^n+b^n avec une racine n-ième et aurait appliqué des raisonneement du type unicité de décompostion non valable justement quand l'anneau d'entiers en question n'est pas factoriel. Je ne sais pas si cette thèse est reconnue par d'autres et par quelques historiens des maths. En tout cas l'histoire des tentatives et échecs de preuves est, je crois mais je ne suis pas spécialiste, très liée au développement de la théorie algébriques des nombres (cf. Kummer, Kronecker, Dedekind, qui je crois se sont tous penché dessus.). En tout cas ca mériterait surment quelques lignes dans WP que je ne saurais rédiger ! Alexandre alexandre (d) 7 août 2011 à 12:39 (CEST)

Date de la note de Fermat

Réf. [1] Dickson, History of the theory of numbers, vol. II Diophantine analysis, Chelsea publishing company, 1952, ch. XXVI Fermat's last theorem..., p. 731-776.
Réf. [2] Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L'Hypothèse « Pascal », essai, L'Harmattan, 2002.

Dickson, p. 731, écrit : « Fermat, commenting about 1637 on Diophantus II, 8 .... », sans justifier la date.
Rousseau, p. 105, écrit au terme d'une analyse minutieuse : « La plus ancienne mention connue serait celle d'une lettre adressée en octobre 1636 par Fermat à Mersenne. Il s'agirait, mal exprimée, de la conjecture sur la somme des trois carrés ; la plus ancienne mention explicite des conjectures pour n=4 et 3 remonterait à juin 1638 (selon M. Itard) dans une lettre que Fermat demandait à Mersenne de transmettre à André Jumeau, Prieur de Sainte-Croix [....] ; l'impossibilité pour seulement n=3 n'est avancée qu'une seule fois par Fermat. Cette assertion tient alors lieu de troisième défi aux Anglais pour effacer le contre défi qu'aurait lancé antérieurement Van Schooten, le 17 février 1657 ; » et il écrit p. 109 : « ... en 1657-1658 (postérieurement à 1654, année où il eut communication des travaux de Pascal sur le « triangle arithmétique »), Fermat n'avait toujours pas démontré ou cru avoir démontré le Grand Théorème. Un léger doute peut subsister concernant 1659 dans la mesure où, dans la lettre à Huygens, il laisse entendre qu'il n'a pas tout dit. Peu importe d'ailleurs que l'ultime contribution de Fermat eût été antérieure à la lettre à Carcavi et Huygens ou, au contraire, dut être datée des toutes dernières années de sa vie. L'important pour nous, est qu'elle ait été, d'évidence, postérieure à 1654. »
Suggestion pour l'article de retenir comme date(s) : « vers 1638 (pour les cas 4 et 3) et après 1654 (pour le cas général n>2). » Fabrice Dury (d) 7 août 2011 à 22:44 (CEST)

L'hypothèse (il n'y a aucune certitude formelle) au minimum très majoritaire chez les historiens est que la date est précoce (pour des raisons en partie exposées sur l'article principal théorème de Fermat et voir l'article de Jean Itard cité), ça doit remonter au moins à Tannery-Henry d'où le manque d'explication chez Dickson (je ne vérifie pas mais il y atrès probablement une référence). Hua et Rousseau ne sont pas historiens (on ne trouve pas de critique de leur livre dans les revues d'histoire), la source n'est aps admissible. D'ailleurs le passage ci-dessus laisse penser qu'ils ne discutent même pas l'hypothèse majoritaire en affirmant le contraire comme une évidence (le minimum, si c'était un texte historique sérieux, serait d'expliquer pourquoi les autres ont tort selon eux). Proz (discuter) 9 mars 2015 à 23:32 (CET)

"Erreur d'Euler" dans le cas n = 3 (existence ou unicité)

Il me semble bien que c'est l'unicité de la décomposition en facteurs premiers qui est en jeu pour montrer que si le produit de deux entiers est un cube, et qu'il sont premiers entre eux, chacun d'entre eux en est un. Evidemment le lemme d'Euclide suffit, mais bon comme c'est l'argument essentiel de l'unicité, et que par ailleurs c'est encore plus simple avec l'unicité ... En tout cas le paragraphe modifié en remplaçant unicité par existence ne me paraît plus avoir grand sens. Proz (discuter) 9 mars 2015 à 23:47 (CET)

Voir mon ajout du 17/2 dans Anneau factoriel. Il ne faut pas confondre, comme c'était le cas dans plein d'articles, décomposition en facteurs premiers (où l'unicité est automatique et l'existence problématique) et décomposition en facteurs irréductibles (où c'est l'inverse). Anne 10/3/15, 0h19

C'est une objection bien savante, mais on parle des entiers, et un nombre premier est justement défini usuellement comme un élément irréductible. C'est en ce sens qu'on le prend dans décomposition en facteurs premiers (dans le cas des entiers) ... Je persiste à penser que ça rend le paragraphe incompréhensible, alors que ça me semblait compréhensible avant ... Proz (discuter) 10 mars 2015 à 20:14 (CET)

Je ne crois pas : c'était peut-être (? — difficile pour nous de regarder cet article d'un œil neuf) compréhensible avant mais faux, à moins de préciser — car comme cette distinction est cruciale ici, on ne doit pas jouer sur les mots — que "facteur premier" a un sens différent en général du sens qu'on lui donne dans les entiers usuels. Or cet alourdissement est inutile : la conclusion du § met les points sur les i : « il n'y a pas unicité (même à produit près par des inversibles) de la décomposition en éléments irréductibles dans ℤ[i√3]). » De toutes façons, même depuis ma rectif, cette phrase reste peu claire : je ne vois pas comment un lecteur non averti et qui vient d'être titillé par le « donc — dit-il — » pourrait deviner quel est exactement « le résultat que l'on peut démontrer pour les entiers ordinaires » et qui « est également juste pour ℤ[i√3] ». Anne 10/3/15, 21h37

Je découvre que ce passage est de toi. Avant c'était historiquement plus confus mais mathématiquement plus clair. Pourrais-tu trouver une reformulation qui ait les deux avantages ? Anne, 11/3/15 7h44

Oui ok, je crois avoir compris le problème : 1/ le lien n'est pas le bon (ça devrait être sur théorème fondamental de l'arithmétique) 2/ on ne comprend pas de quel résultat il s'agit, à savoir si le produit de 2 nombres premiers entre eux est un cube alors chacun d'entre eux également même dans ℤ[i√3] (résultat correct puisqu'on est dans un sous-anneau d'un anneau factoriel cf. Edwards, Euler n'écrit rien de faux, même s'il n'est pas clair et incomplet cf. Edwards, c'est juste en pensée qu'on peut le soupçonner d'avoir péché, et c'était historiquement doublement faux il n'est pas non plus revenu dessus). Proz (discuter) 11 mars 2015 à 18:20 (CET)

Cas de l'exposant 5 : Lejeune Dirichlet ou Legendre ?

L'article semble dire que la première démonstration pour l'exposant 5 (et encore, partielle, semble-t-il) est due à Lejeune Dirichlet et date de 1825. Or Legendre, dans son Mémoire de 1823 (Legendre, « Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée et particulièrement sur le théorème de Fermat », Mémoires de l'Académie royale des sciences, t. 6,‎ 1823, p. 1-60 (lire en ligne)) donne déjà une démonstration complète pour l'exposant 5. Il l'annonce page 2. Il démontre le premier cas au point 16, p. 10-11, puis, beaucoup plus élémentairement (congruence modulo 25) au point 17, 2°, p. 11, et enfin, par une troisième méthode (celle de Sophie Germain), aux points 21 et 22, p. 14-16. S'étant ainsi débarrassé du premier cas, il démontre le second à partir du point 38, p. 31. Je n'ai pas vérifié la démonstration de Legendre, mais il me semble que si elle est correcte, c'est Legendre qui a la priorité. Marvoir (discuter) 12 mars 2015 à 09:33 (CET)

WP en anglais donne un tableau chronologique très clair qui résume MacTutor. Ils datent le cas I de 1823 mais la preuve par congruence mod 25 est tellement élémentaire que je serais très surprise qu'elle ne soit pas largement antérieure. Ils ne parlent pas de la preuve par Legendre de 1823 du cas II parce qu'elle est fausse, il me semble : il a l'air de faire la même erreur qu'Euler pour n = 3 (c'est peut-être à ça entre autres que fait référence la phrase « La même omission sera reprise par Legendre » dans Dernier théorème de Fermat#Premières approches ?) quand il dit (p. 32 et 36) que si r⁵ est de la forme a² – 5b² alors r aussi. C'est Dirichlet qui rectifie en juillet 1825, par un lemme clé qui lui permet de prouver le cas II.i. Il ne prouve II.ii qu'en 1828, donc après la preuve (correcte cette fois) par Legendre de septembre 1825 (que je ne sais pas où trouver), mais en réutilisant son lemme clé de juillet 1825. Il faut probablement, comme la plupart des sources, associer leurs 2 noms avec la date 1825 sans qu'un soit prioritaire sur l'autre ou en détaillant. Anne 12/3/15 12h12

Merci pour ces renseignements. Comme tu dis, il serait peut-être bon de détailler. Il semble que, même si Legendre s'est trompé en 1823, c'est lui qui a donné la première preuve complète (en 1825, en prouvant II.ii). Marvoir (discuter) 12 mars 2015 à 12:50 (CET)

Passages biffés le 22/3/15 après travail archéologique commun, cf. Dernier théorème de Fermat#Premières approches. Anne

Dans la 3e édition de sa théorie des Nombres, vol. 2, 1830, Legendre parle du théorème de Fermat, il démontre le cas de l'exposant 5 aux pages 361-368 (voir Google Livres) mais il ne parle plus du théorème de Sophie Germain... Marvoir (discuter) 12 mars 2015 à 14:36

Legendre de dit plus un mot non plus, dans cette éd. de 1830, de Dirichlet. Mais il ne manque pas, à la fin, de mentionner son propre mémoire « de 1823 ». Weil écrit : « Had he by that time persuaded himself that his alone was the glory? If so, the old man deserves forgiveness. » Anne 24/3/15 2h

Ce passage de Weil est très intéressant et mériterait d'être cité dans l'article de Wikipédia où la compétition entre Legendre et Lejeune Dirichlet est évoquée. On pourrait peut-être citer la phrase suivante du passage de Weil, où il dit que Legendre s'était comporté avec générosité envers Jacobi et Abel. Marvoir (discuter) 24 mars 2015 à 08:24 (CET)

Je dois te laisser faire et promets de ne pas modifier même si je pressens que j'en serai tentée. Je me contente d'écrire ici mes réticences. Weil te donne raison en écrivant (avec tous les bémols préalables qui s'imposent) « But Legendre got there first » mais post-date le complément de Dirichlet, ajouté dès novembre 1825 (cf. formulation de Cgolds du 5/5/13). Par ailleurs, pour moi son « If so » est plein de sous-entendus : et si c'était (à nouveau ?) de la falsification consciente ? Anne 24/3 9h41

Weil ne dit pas explicitement que Lejeune Dirichlet n'a fait connaître sa preuve complète qu'après novembre 1825, mais il est vrai qu'il ne parle pas de la communication de novembre 1825. Mais au fait, si on veut être aussi exigeant envers Lejeune Dirichlet qu'envers Legendre : quand Lejeune Dirichlet a-t-il publié sa preuve complète pour la première fois, ou en tout cas, quand avons-nous la certitude qu'il l'a fait connaître pour la première fois ? Nous connaissons l'existence de son complément de novembre 1825 par les procès-verbaux de l'Académie (tu as mis un lien), mais connaissons-nous le contenu de ce complément autrement que par ce que Lejeune Dirichlet en dit ? L'Académie l'a-t-elle publié ? À ce sujet, il serait intéressant de connaître la date de publication et le contenu du tiré à part que Lejeune Dirichlet fit imprimer lui-même. Je rappelle les références que j'ai données ailleurs sur ce tiré à part : Cournot, article de 1826 reproduit dans le vol. 11 de ses Œuvres complètes, Vrin, 2010, p. 209-210, consultable sur Google Livres et page de Google Livres, sans mention de la date de publication ni accès au contenu. Mais de toute façon, puisque l'article de Cournot est de 1826, le tiré à part est au plus tard de 1826. Reste la question : que contenait le tiré à part ? Marvoir (discuter) 24 mars 2015 à 10:57 (CET)

Quérard, La France littéraire, 1833 (voir Google Livres) donne l'année 1826 pour le tiré à part, mais le titre ne laisse pas deviner si le complément est repris. (Il l'est sûrement, à mon avis, mais je pratique le doute méthodique.) Marvoir (discuter) 24 mars 2015 à 12:17 (CET)

Petite pièce au dossier : le rapport (élogieux) de Legendre et Lacroix sur le premier mémoire de Lejeune Dirichlet. Ce rapport a paru dans les procès-verbaux de l'Académie des sciences, t. 8, séance du 18 juillet 1825, p. 240-241, consultable sur Gallica. Marvoir (discuter) 24 mars 2015 à 12:33 (CET)

Finalement, le tiré à part est sur Gallica. Lejeune Dirichlet, p. 12, y ajoute bien une preuve complète, tout en signalant que Legendre a déjà complété la démonstration : voir Gallica. C'est bien le tiré à part, comme le montre cette page de Gallica, où il est d'ailleurs donné comme sans date. Mais, comme déjà dit, il est au plus tard de 1826, puisque Cournot le mentionne en 1826. Marvoir (discuter) 24 mars 2015 à 12:53 (CET)

Importance des vieilles démonstrations pour l'exposant 3

Je n'ai pas le bagage nécessaire pour comprendre la démonstration de Wiles, mais si j'en crois cette discussion sur Mathoverflow, la démonstration de Wiles ne s'applique pas à l'exposant 3, qui doit être traité à part. (Voir le premier commentaire sur la question.) Si c'est exact, il serait peut-être bon de le mentionner dans le présent article. Marvoir (discuter) 29 janvier 2016 à 11:00 (CET)

Voici une source apparemment sérieuse qui semble dire elle aussi que la démonstration de Wiles ne s'applique pas à l'exposant 3. Loïc Merel, « Arithmetic of elliptic curves and diophantine equations », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 11, n° 1 (1999), p. 173-200, en ligne, p. 174 :

« Theorem 0.1 (Wiles). The equation x^p + y^p = z^p has no solution in integers x, y and z with p prime number > 3 and $xyz\neq 0$. »

Mais quelque chose de plus catégorique serait peut-être souhaitable. Marvoir (discuter) 29 janvier 2016 à 15:49 (CET)

Rappel d'une proposition de renommage

Ce renommage à la hussarde (sans indication de motif mais surtout, sans tenir compte de cette discussion longue et pourtant non conclusive et sans consulter ni même avertir ici) me choque, mais passons.

Ça me rappelle que j'ai oublié d'exécuter le renommage consensuel Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5. Comme 2 ans ont passé, je repose la question : quelqu'un a-t-il une meilleure idée ? Anne, 23/2/17, 3 h 15

Je suis toujours d'accord. Comme il n'y a pas eu d'avis contraire et que tu avais exprimé l'intention de faire le renommage sauf avis contraire, il me semble que tu peux y aller. Marvoir (discuter) 23 février 2017 à 08:17 (CET)

Grand ou dernier ? Sur wikipédia, le choix doit être guidé par l'usage (le plus fréquent) chez les mathématiciens. Dans ce contexte, je crois que c'est dernier qui est le plus courant. Et cet adjectif devrait être commun aux articles en rapport avec le sujet : Dernier théorème de Fermat, Démonstrations du grand théorème de Fermat. Fabrice Dury (discuter) 23 février 2017 à 23:48 (CET)

Puisqu'on parle couramment d'un « petit » théorème de Fermat, il est assez normal d'appeler l'autre « grand », mais peu importe, la question , ici, est de savoir si on va ajouter « pour les exposants 3, 4 et 5 » au titre. Pour moi, c'est justifié, car cela correspond au contenu essentiel de l'article. Marvoir (discuter) 24 février 2017 à 08:33 (CET)

L’usage impose petit pour l’un et (plutôt) dernier pour l’autre, même si cela contredit une logique apparente. Quant à la mention « pour les exposants 3, 4 et 5 », certes, elle correspond au contenu actuel, mais il faut se demander ce qu’on fera quand on voudra traiter n=7, etc. : créer un nouvel article ? ou renommer celui-là ? Une suggestion, qui laisse la porte ouverte : « pour les faibles exposants ». Ou encore : créer un article par exposant : Démonstrations du dernier théorème de Fermat pour n=3, etc. Fabrice Dury (discuter) 24 février 2017 à 08:59 (CET)

Je me suis permis de faire le renommage en ajoutant au titre « pour les exposants 3, 4 et 5 ». J'ai également modifié Wikidata. Je ne sais pas s'il y a autre chose à faire. Marvoir (discuter) 25 février 2017 à 18:34 (CET)

J'aurais préféré (comme Fabrice Dury) que tu conserves le « dernier » (d'avant le tout récent « renommage à la hussarde »). Anne, 25/2/17, 18 h 46

Soit, mais tu ne t'étais pas prononcée explicitement dans ce sens. J'avais l'impression que tu acceptais le renommage en "grand théorème" tout en désapprouvant la façon dont il avait été fait. Pour moi, "grand" ou "dernier" sont aussi bons. Si tu veux remplacer "grand" par "dernier" dans le titre actuel, je n'ai pas d'objection. Marvoir (discuter) 25 février 2017 à 20:08

Je ne l'acceptais pas : je le supportais temporairement, sachant que ce « temporaire » serait bref.  Fabrice Dury :, j'y avais pensé, mais l'article est stabilité à 3, 4 et 5 depuis sa création il y a plus de 10 ans. Dans son homologue en:Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents, le cas 7 et les cas 6, 10 et 14 n'ont pas évolué depuis sa création en juin 2009, et ne sont pas du tout dans le même esprit que le reste. Chez nous, des infos de ce genre seraient plus à leur place dans Dernier théorème de Fermat#Premières approches. Anne, 25/2/17, 20 h 58

Merci. Il resterait à revenir à dernier. Fabrice Dury (discuter) 26 février 2017 à 23:59 (CET)

Qu'attendez-vous ? Marvoir (discuter) 27 février 2017 à 08:22 (CET)