Dernier théorème de Fermat

Pour les articles homonymes, voir Théorèmes de Fermat.

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles s'énonce comme suit :

Théorème — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls $x$, $y$ et $z$ tels que :

$x^n+y^n=z^n \,$

dès que $n$ est un entier strictement supérieur à 2.

Énoncé par Fermat comme démontré, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée. Andrew Wiles en a fourni une en 1994.

Une page de l'édition de 1621 de l’Arithmetica. C'est sur un exemplaire similaire – non retrouvé – que Fermat a écrit sa note.

Page 61 de la réédition de 1670 de l’Arithmetica, réédition supervisée par le fils de Fermat

Contexte

Dans le cas où n = 1 l'équation $x$, $y$ et $z$ tels que :

$x^n+y^n=z^n \,$

correspond à l'addition usuelle.

Dans le cas où n=2, cette équation a aussi des solutions et même une infinité qui correspondent aux triplets pythagoriciens dont le plus simple exemple est que $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Le théorème de Fermat-Wiles établit que cette équation n'a pas de solution pour tout entier n supérieur à 2.

Historique

Énoncé de Fermat

Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonça en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante et ajouta :

« … J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition. Mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Ce commentaire, comme d’autres (par exemple l’annotation du problème 29 du Livre IV) est surprenant. Il semble que Fermat n’ait jamais eu l’intention de les publier, mais que ces témoignages « soient écrits dans un style qui suppose la présence d’un lecteur. »

On n’a bien sûr jamais retrouvé cette démonstration. La note elle-même ne nous est parvenue que par transcription après sa mort par son fils Samuel, dans une réédition de l'Arithmetica :

« […] l'intérêt qu'elle [l'édition de Samuel Fermat] offre provient donc essentiellement des annotations que Pierre Fermat avait inscrites sur les marges d'un exemplaire aujourd'hui perdu du Diophante de Bachet, annotations que son fils a reproduites à leur place, en caractères italiques et chacune sous le titre : OBSERVATIO D. P. F., la seconde seule sous celui : OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT. »

Démonstration par Andrew Wiles

Article détaillé : Preuve par Wiles du dernier théorème de Fermat (en).

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant près de 350 ans, n'aboutissant qu'à des résultats partiels, le théorème a finalement été démontré par le mathématicien Andrew Wiles, au bout de huit ans de recherches intenses, dont sept dans le secret le plus total. La démonstration, publiée en 1995, recourt à des outils très puissants de la théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch en 1971 (note au CRAS), puis de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes (en), à une formule des traces (en)…

La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps  :

• En juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (alors que trois suffisent d'habitude) nommés par Barry Mazur ; chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Parmi ces jurés figurent Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appellé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très compliquée  : on doit réussir à appliquer le système d'Euler. Font aussi partie des jurés Gerd Faltings, Ken Ribet et Richard Taylor, tous travaillant dans la plus grande confidentialité. L’atmosphère est tendue, le poids du secret, lourd à porter. Après que Katz ait transmis à Wiles quelques points à préciser, que celui-ci clarifie rapidement, les choses commencent à se gâter  : Nick Katz et Luc Illusie finissent par admettre qu'on ne peut pas établir dans la preuve, pour l’appliquer ensuite, le système d'Euler, alors que cet élément est considéré comme vital pour la faire fonctionner. Peter Sarnak (en), que Wiles avait mis dans la confidence de sa découverte avant la conférence de juin, lui conseille alors de se faire aider par Taylor. Les tentatives pour combler la faille se révèlent pourtant de plus en plus désespérées, et Wiles, maintenant sous le feu des projecteurs, vit une période très difficile, il est à bout de forces et pratiquement résigné. Ce n’est que neuf mois plus tard que se produira le dénouement.
• Le 19 septembre 1994, reprenant une ligne d’attaque utilisée trois ans auparavant, il contourne et résout finalement le problème de Flach-Kolyvagin. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont diffusés : Les courbes modulaires elliptiques et le Dernier Théorème de Fermat (Andrew Wiles), et Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke (Richard Taylor et Andrew Wiles). Le premier, très long, annonce entre autres la preuve, en se fondant sur le second pour un point crucial. Le document final est publié en 1995.

Fermat l'avait-il démontré ?

Le théorème de Fermat n'apparaît sous sa main que dans une note manuscrite en marge d'un ouvrage d'arithmétique de Diophante, édité par Bachet de Méziriac, et cette note n'a été publiée qu'après la mort de Fermat. Celui-ci n'a jamais fait part de cette découverte à qui que ce soit de son vivant. Par ailleurs, les démonstrations partielles au cours des siècles qui ont suivi ont nécessité des outils mathématiques qui n'existaient pas au temps de Fermat. La plupart des mathématiciens estiment donc aujourd'hui que Fermat a cru avoir montré le résultat général avant sans doute de se rendre compte d'une erreur. Est souvent invoqué aussi le fait que Fermat se serait mépris sur la valeur d'une de ses démonstrations : après avoir dit à plus d'une reprise qu'il n'avait pas encore trouvé de démonstration de sa conjecture sur les nombres de Fermat, il s'exprima, dans une lettre de 1659 à Carcavi, en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estimait avoir démontré cette conjecture, pourtant erronée.

Méthode de la démonstration

Principe

Andrew Wiles

La démonstration d'Andrew Wiles s'appuie sur de nombreux travaux antérieurs et peut se résumer comme suit :

1. on se ramène d'abord aux cas d'exposants n premiers impairs.
2. à une solution (x, y, z) non triviale (i.e. xyz ≠ 0) avec les entiers relatifs x, y, z premiers entre eux, on associe une courbe elliptique particulière (Frey, reprenant des idées d'Hellegouarch),
3. on démontre que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires (théorème de Ribet, démontrant une conjecture de Serre),
4. on démontre que toute courbe elliptique — ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch — est paramétrée par des fonctions modulaires : c'est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si importante en théorie des nombres.

La contradiction qui en résulte montre que l'équation de Fermat ne peut avoir de solutions.

Notions utilisées

Courbes elliptiques

Une courbe elliptique est une courbe d'équation de la forme :

$y^2 + axy + by = x^3 + cx^2 + dx + e.$

Les coefficients a, b, c, d et e sont des éléments du corps sur lequel est définie la courbe. Pour qu'une telle courbe soit effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière, c’est-à-dire qu'elle n'ait ni point de rebroussement, ni point double. Cette dernière condition s'exprime par le fait qu'un certain polynôme sur les coefficients, analogue à un discriminant, ne s'annule pas.

Si l'on prend l'exemple du corps des réels, alors l'équation d'une courbe elliptique définie sur le corps des nombres réels peut être mise sous une forme plus simple (dite équation de Weierstrass) :

$y^2 = x^3 + ax + b$.

Le discriminant de cette courbe est $\delta = -16 (4 a^3 + 27 b^2)$. S'il est non nul, la courbe est non singulière, et donc est vraiment une courbe elliptique.

Courbe de Frey-Hellegouarch

En 1984, Gerhard Frey, en reprenant des idées plus anciennes de Yves Hellegouarch, démontra que les solutions de l'équation de Fermat pour n > 2 permettaient de définir des courbes elliptiques semi-stables aux propriétés étranges ; ce sont les courbes d'équation  :

$y^2 = x ( x + A^n) (x - B^n)$,

où $A^n + B^n = C^n$ est un contre-exemple au théorème de Fermat.

Pour conclure, il suffit de montrer que la courbe elliptique ainsi définie (en) a des propriétés trop merveilleuses pour pouvoir exister.

Comme dans d'autres situations en mathématiques, le fait d'intégrer le problème de Fermat dans un cadre plus général et apparemment beaucoup plus difficile a permis de grandes avancées, parce que l'on dispose alors de tout un outillage développé pour ce cadre.

Démonstration de Kenneth Ribet

En 1986, après pratiquement deux ans d'effort, l'Américain Ken Ribet réussit à démontrer la conjecture epsilon (en) de Jean-Pierre Serre, dont une des conséquences est que la courbe de Frey-Hellegouarch n'est pas paramétrable par des fonctions modulaires.

Il ne restait plus qu'à démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil : « Toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires. »

Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil

La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil précise que les courbes elliptiques sur ℚ peuvent toujours être associées (ou paramétrées) à des fonctions spéciales dites modulaires (généralisation des fonctions trigonométriques).

Pour démontrer cette conjecture, Andrew Wiles utilisa entre autres les notions mathématiques suivantes :

• les fonctions L ;
• les formes modulaires ;
• les groupes de Galois absolus ;
• la théorie des déformations des représentations galoisiennes.

La démonstration complète pour les courbes elliptiques semi-stables a été publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.

Les deux sections suivantes semblent contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées. Vous pouvez aider en ajoutant des références. Voir la page de discussion pour plus de détails.

Décidabilité de ce théorème en arithmétique

Ce théorème est clairement un énoncé exprimable dans le langage de l'arithmétique mais il a été prouvé dans une théorie plus puissante que l'arithmétique, nécessitant des outils de la théorie des ensembles.

Une question se pose alors de savoir si c'est un indécidable de l'arithmétique ou non.

Le fait que ce soit un théorème de la théorie des ensembles prouve que cet énoncé est vrai sur l'ensemble ℕ des entiers naturels mais ne prouve pas que ce puisse être un théorème de la théorie arithmétique usuelle donnée par les axiomes de Peano car il pourrait être faux dans un modèle non-standard de l'arithmétique et donc être un énoncé indécidable de l'arithmétique.

Cette question n'est toujours pas résolue vingt ans après le résultat de Wiles et ne semble pas être un objet d'étude particulier.

Remarques

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il prend une telle valeur. L'article « Démonstrations du dernier théorème de Fermat » (pour n = 3, 4 et 5) montre quelques exemples d'outils de résolution de ces premiers cas particuliers, et sans commune mesure avec ceux découverts et utilisés pour le cas général.

On peut également comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation : xⁿ + yⁿ = 1. Si n > 2, alors cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

Euler avait émis une conjecture généralisant celle de Fermat à des sommes de n – 1 puissances n-ièmes, mais elle fut réfutée en 1966.

L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».

Ce théorème n'a pas vraiment de relation avec le théorème de Pythagore. L'objet du théorème de Pythagore est de donner une caractérisation géométrique des triangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien, ces triplets étant eux-mêmes les solutions de l'équation de Fermat dans le cas n = 2. L'analogie avec le théorème de Fermat est donc la question de l'existence de triplets pythagoriciens, et la question de leur interprétation géométrique est nettement une autre question. Néanmoins, Fermat s'est évidemment inspiré de la notion de triplet pythagoricien : sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens.

Voir aussi

• Triplet pythagoricien dans le cas où l'exposant est égal à deux.

Bibliographie

• Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat, (ISBN 978-2-01-278921-0)
  Un livre de vulgarisation qui prend occasion du dernier théorème de Fermat pour présenter la théorie des nombres.
• Guillermo Martínez, Mathématique du crime (en), Éditions Nil, 2004.

Lien externe

Un documentaire télévisé de vulgarisation de Simon Singh