Catégorie des groupes abéliens

En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.

Définition modifier

Catégorie des groupes abéliens modifier

La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

Les objets sont les groupes abéliens ;
Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes.

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur $\mathbb {Z}$ :

\mathrm {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-}}\mathrm {Mod}

.

Catégories enrichies sur Ab modifier

La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

Adjonctions modifier

On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe $U:\mathrm {Ab} \to \mathrm {Set}$ . Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre $F:\mathrm {Set} \to \mathrm {Ab}$ qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.

Propriétés de la catégorie des groupes abéliens modifier

Propriétés catégoriques modifier

Ab est concrète ;
Ab est une catégorie complète et cocomplète ;
Ab est préadditive et additive ;
Ab est une catégorie abélienne, en particulier on peut y définir une notion de suite exacte ;
Ab est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel sur $\mathbb {Z}$ comme produit monoïdal, et une catégorie monoïdale pour la somme directe ;
Ces deux structures sont compatibles sur Ab, c'est donc une catégorie bimonoïdale ;
Ab n'est pas cartésienne fermée, ce n'est donc pas un topos ;
Ab est une catégorie de Grothendieck (en) ;