Wave pendulum

Un wave pendulum est un dispositif physique et mécanique composé de plusieurs pendules pesants (entre dix et vingt la plupart du temps) ayant chacun une longueur de fil bien déterminée. Lorsque tous les pendules sont libérés en même temps du même niveau, on peut alors observer des motifs réguliers, composés entre autres de vagues harmoniques et de périodes durant lesquelles certains groupes de pendules sont en phase, de telle sorte que les masses semble avoir des mouvements coordonnés entre elles.

Schéma d'un pendule pesant simple.

Calcul des longueurs de fil des pendules

Explication théorique

La première étape est de fixer une longueur $L$ qui sera constante et surtout connue. Elle représente la longueur de fil du pendule qui sera le plus long. En partant de cette longueur, on va alors déterminer les autres longueur de fil pour pouvoir observer les effets attendus. Le principe est le suivant : lorsque la masse du pendule le plus long aura effectué un nombre $T_{0}$ de périodes, la masse du pendule légèrement plus court devra avoir effectué une période de plus, c'est-à-dire $T_{0}+1=T_{1}$ périodes, le suivant encore légèrement plus court devra en avoie effectué deux de plus, c'est-à-dire $T_{0}+2=T_{2}$ périodes et ainsi de suite pour chaque longueur de fil décroissante. On appelle $L_{1}$ la longueur du fil légèrement plus petit que le fil le plus long de longueur $L$, on appelle $L_{2}$ le fil encore légèrement plus court, et ainsi de suite pour chaque fil de longueur décroissante.

On en déduit donc en généralisant que lorsque le fil de longueur $L_{n}$ aura effectué $T_{n}$ périodes, le fil de longueur $L_{n+1}$ aura effectué $T_{n+1}$ périodes.

On a la formule suivante qui donne la période $T_{n}$ d'un pendule simple de longueur quelconque:

$T_{n}=2\pi {\sqrt {\frac {L_{n}}{g}}}$

Exemple d'application

Si on fixe la longueur $L$ du fil le plus long étant égal à, par exemple 40 centimètres, et que l'on décide que ce pendule devra avoir effectué $x=15$ périodes lorsque le pendule suivant, de longueur de fil $L_{1}$, en aura effectué $(x+1)=16$, on obtient alors la relation suivante :

$L_{1}=L\left({\frac {x}{x+1}}\right)^{2}$

$L_{1}=40\left({\frac {15}{16}}\right)^{2}\approx 35{,}16cm$

De la même manière, on a pour le fil de longueur $L_{2}$ qui doit faire deux périodes de plus que le pendule de longueur $L$ :

$L_{2}=L\left({\frac {x}{x+2}}\right)^{2}$

$L_{2}=L\left({\frac {15}{17}}\right)^{2}\approx 31{,}14cm$