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Verticale et surfaces de niveau mettent en évidence les dénivellations affectant un territoire géographique lorsqu'il est représenté sur un plan. La verticale d'un point de la surface est une ligne imaginaire traversant ce point et dirigé vers le bas, suivant la pesanteur. Les surfaces de niveau sont les tracés formés sur la surface par son intersection avec des plans perpendiculaires à la verticale et espacés à des altitudes régulières.

Sommaire

Verticale et pesanteurModifier

La verticale, en un lieu repéré par un point   sur la surface terrestre ou dans son voisinage, est définie par la direction de la pesanteur   en  , et matérialisée par la direction d'un fil à plomb suspendu en   ou par l'axe « vertical » d'un niveau optique mise en station au point  . La pesanteur s'obtient en prenant le gradient du potentiel de pesanteur  , somme des potentiels gravifique   et axifuge  , au point  . Selon qu'on décide par convention d'orienter la verticale vers l'intérieur de la Terre ou vers l'extérieur, le vecteur unitaire fournissant l'orientation de la verticale du lieu est fourni par   ou  , respectivement. Le symbole   (nabla) désigne l'opérateur gradient, qui en coordonnées cartésiennes   peut s'écrire  ,   désignant un vecteur unitaire orienté positivement le long de l'axe  .

Gradient du potentiel de pesanteur et dérivée dans une directionModifier

Le gradient du champ scalaire   est un champ vectoriel, en l'occurrence le champ de pesanteur  . Le potentiel de pesanteur   étant une fonction du point  , le voisinage de   peut être décrit par un petit vecteur   joignant   à tout point voisin  . Le taux de croissance de la fonction   sera en général différent selon la direction et le sens de  , et nous pouvons écrire comme suit le taux de croissance de   dans la direction caractérisée par le vecteur unitaire  [1] :

 

et définir la dérivée du potentiel de pesanteur   dans la direction du vecteur unitaire   par

 .

Lorsque le vecteur unitaire   possède la direction et le sens d'un axe du trièdre de référence, soit   orienté selon le vecteur unitaire  , ceci permet de définir les dérivées partielles

 .

Constatons toutefois que ces dérivées partielles ne sont pas très intéressantes car elles dépendent manifestement du choix du système de référence et ne sont donc pas des quantités scalaires. Par contre, les dérivées dans une direction représentent des fonctions scalaires, le système de référence n'intervenant pas dans leur définition.

On démontre en analyse mathématique, par exemple en se basant sur la formule des accroissements finis, que

 ,

 ,  ,   sont les composantes du vecteur unitaire   ou encore, ce qui est équivalent, les cosinus directeurs de l'axe dans la direction duquel on dérive. Cette dernière formule indique que la dérivée de   dans la direction du vecteur unitaire   s'obtient en formant un produit scalaire, à savoir

 .

Surface de niveauModifier

Article connexe : Ligne de niveau.

La formule précédente a des conséquences fort intéressantes. En effet, si   désigne l'angle entre la direction du gradient du potentiel de pesanteur   (donc la direction de la verticale) et la direction  , la dérivée   du potentiel de pesanteur le long de   peut s'écrire

 .

Ainsi, si   est parallèle à la direction de la verticale en   (c'est-à-dire   ou  ),   est maximum et vaut  , et si   est perpendiculaire à la verticale en   (c'est-à-dire   ou  ),  . En d'autres termes, le taux de variation du potentiel de pesanteur est maximum en valeur absolue dans la direction de la verticale, et nul dans une direction contenue dans le plan perpendiculaire à la verticale en  . Ce plan est donc tangent en   à la surface

 

qu'on appelle surface de niveau. Pour un point arbitraire, la pesanteur  , autrement dit le gradient du potentiel de pesanteur  , est donc normale à la surface de niveau passant par ce point. Comme le potentiel de pesanteur reste constant sur une surface de niveau, on parle aussi d'une surface équipotentielle du champ de pesanteur.

Voir aussiModifier

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NotesModifier

  1. Le point   appartient à un espace de points ; son analogue dans l'espace vectoriel associé est  , le point   étant un point arbitraire de l'espace ponctuel considéré comme point-origine.