Utilisateur:Marteil2003/Rapport aire-volume

Le rapport aire-volume, aussi connu comme le rapport surface-volume ou SA:V, correspond à la quantité de surface d'un objet en fonction de chaque unité de volume. La valeur de ce rapport va influencé les caractéristiques thermiques d'un objet, la réactivité d'un élément chimique, ou la facilité d'un organisme à se nourrir.

L'objet avec le plus faible rapport aire-volume (et donc le moins d'aire par unité de volume) correspond à une sphère, avec des rapports qui augmentent plus l'on s'éloigne de cette forme. Les objets avec le rapport aire-volume le plus élevé sont des fractales, qui ont une surface infinie pour un volume fini.

Calcul

Dimension

Le rapport aire-volume à une dimension physique de L⁻¹ (longueur inverse), et s'exprime donc en unités de longueur inverse : m⁻¹, cm⁻¹ et d'autres.

Par exemple, un cube avec des arêtes de longueur 1 cm aura une aire de 6 cm² et un volume d'1 cm³. Son rapport aire-surface sera donc :

${\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}$.

Exemples mathématiques

Objet	Illustration	Longueur charatéristique $a$	Aire	Volume	Rapport aire-volume	Rapport pour un volume de 1
Tétraèdre régulier			${\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}$	${\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}$	7,21
Cube		arête	$6a^{2}$	$a^{3}$	${\frac {6}{a}}$	6
Octaèdre régulier			$2{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$	${\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}$	5,72
Dodécaèdre régulier			$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}$	5,31
Capsule		Diamètre	$4\pi a^{2}+2\pi a*2a=8\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\pi a^{2}*2a={\frac {10\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {12}{5a}}$	5,251
Icosaèdre régulier			$5{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}$	5,148
Sphère		rayon	$4\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {3}{a}}$	4,83598

Tendances pour des valeurs de c croissantes

Graphe de l'aire de différents solides en fonction de leurs volumes. Comme on peut l'observer, loin d'être constant, ce rapport devient de plus en plus petit pour des valeurs de longueur plus importantes (traduit par l'éloignement de la courbe y=x).

Étant donné que la surface d'un solide évolue avec le carré de sa longueur, mais que le volume de celui-ci augmente avec le cube de celle-ci, la volume à tendance à augmenter bien plus vite que la surface. Pour la valeur de c augmente, moins il y a d'aire par unité de volume. C'est pourquoi des objets ou des organismes de plus faible taille sont capables d'évacuer (globalement) mieux la chaleur, car celle-ci est prduite par la masse (ou le volume) de l'individu, mais son évacuation est lié à la surface du corps. Selon certaines théories, la taille des Pygmées seraient ainsi (partiellement) le fruit d'une adaptation génétique à la chaleur de leur milieu de vie.

Applications

Notes et références

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Surface-area-to-volume ratio » (voir la liste des auteurs).

Annexes

Articles connexes

• Isopérimétrie
• Pygmée

Liens externes

• Wikipédia:Oracle/semaine_18_2020#Rapport_aire/volume_et_article_dérivé