Utilisateur:Bernard de Go Mars/Brouillon

Ma controverse déposée dans la PdD de [[1]] :

Bonjour à tous les contributeurs bienveillants. J'ai préparé un ajout à l'article Moteur à réaction qui transportera le partage de connaissances qui existait dans Fusée (astronautique) et qui a été mis à la poubelle comme un malpropre. Cet ajout est écrit en référence aux meilleurs sources, bien que tout ignorant puisse toujours en juger autrement (avec la formidable aisance que donne la qualité d'ignorant).

Cet ajout règle la question de l'accord entre le calcul de la poussée par les Quantités de mouvement et le même calcul par l'intégration des forces de pressions et frictions. Un tel accord est évidemment nécessaire (au moins au gens qui ont une connaissance suffisante de la physique) car sans cet accord, rien, dans la physique, ne tient plus.

Si je n'ai pas moi-même placé cet ajout dans l'article Moteur à réaction, c'est que je suis dégoûté de l'attitude de certains administrateurs ou assimilés (et ils sont nombreux, semblent-il). Ils ont voulu me bannir de Wikipédia pour d’obscures raisons, ils y arriveront sans doute... L'histoire des hommes et de leurs actes est un univers de haine et de médiocrité sans fin.

Si d'aventure vous lisez ce message, copiez-le bien vite car la censure est monnaie courante dans Wikipédia, j'en sais quelque chose (même si, je pense, ledit message devrait rester présent dans l'historique de cette page).

Les médiocres ont toujours des choses à cacher.

Je finis en citant Rémi Mathis(président de Wikimédia France pendant quatre ans puis de son Conseil Scientifique :

(propos tirés de son ouvrage "Wikipédia, dans les coulisses de la plus grande encyclopédie du monde") :

P. 83 : "Wikipédia n'est pas là pour dire que tel sujet est plus intéressant ou plus important qu'un autre : d'une part ce n'est pas le travail des wikipédiens qui ne sont pas censés être des spécialistes ou donner leur avis, et d'autre part cela entraînerait l'encyclopédie dans des débats sans fin (plus important pour qui ? selon qui ? [...]"

Autre citation du même responsable :

P. 76 : "[...] mais une grave crise l'a secouée [Wikimédia France] en 2017 [...] harcèlement moral, sexisme [...] de la part de membres de l'association (en particulier de wikipédiens anciens et importants);" [...] "Il y a(vait) [sic.] quelque chose de pourri, de malsain, au royaume des wikipédiens : cette crise l'a montré et j'ai peur que le problème de fond ne soit pas résolu."

Édifiant ! J'ai créé un lien vers cette page dans la PdD consacrée à cet auteur. Bernard de Go Mars (discuter) 21 décembre 2023 à 11:18 (CET)

Principe de fonctionnement

L’intégration des forces de pression sur les parois du moteur-fusée donne la poussée de celui-ci.

Le moteur-fusée est le type de moteur au principe de fonctionnement le plus simple : deux ergols brûlent dans une chambre de combustion, sont accélérés puis éjectés par une tuyère de Laval.

La détermination de la poussée d'un moteur fusée est souvent faite par l'application de la troisième loi de Newton, à savoir la conservation des quantités de Mouvement. Cependant, dans Rocket Propulsion Elements, George P. SUTTON et Oscar BIBLARZ écrivent, p. 32 :

« La poussée axiale peut être déterminée en intégrant toutes les pressions agissant sur les zones qui ont une projection non nulle sur un plan normal à l'axe de la tuyère. [...] Les conditions existant à l'entrée de la tuyère sont essentiellement des conditions de stagnation. ».

Pour être exhaustif dans cette détermination de la poussée axiale d'un moteur-fusée, il convient cependant d'ajouter à l'intégration des forces de pressions l'intégration des forces de friction sur les toutes les parois du moteur. Sutton et Biblarz écrivent cependant à ce sujet : "Heureusement, l’effet global des couches limites sur les performances des moteurs fusées est faible. Pour la plupart des tuyères de fusée, la perte dépasse rarement 1 % de l'impulsion spécifique." Les mêmes auteurs écrivent également, page précédente : « La plus faible vitesse des gaz dans la couche limite (ou friction pariétale) peut réduire la vitesse d’éjection effective des gaz de 0,5 à 1,5 %. »

Coefficient de poussée

Hill et Peterson définissent un Coefficient de poussée $C_{p}$ qui est le quotient de la Poussée réelle (ou mesurée) $P$ du moteur fusée sur le produit de la pression interne $p_{0}$ dans le moteur (pression, dit aussi "de stagnation" existant dans la chambre où brûlent les ergols, c.-à-d. la partie cylindrique du moteur considérée comme la source du flux de gaz qui va propulser la fusée) par la section $A_{C}$ du col de la tuyère :

$C_{p}={\frac {P}{p_{0}A_{C}}}$

Sutton et Biblarz écrivent : "Le coefficient de poussée peut être vu comme représentatif de l'amplification de la poussée due à l’expansion des gaz dans la tuyère supersonique, en comparaison avec la poussée qui s'exercerait si la pression de la chambre n'agissait que sur la surface du col de la tuyère."

La valeur du coefficient de poussée $C_{p}$ fait donc état de l'efficacité des différents types de moteur fusée. Selon le type de moteur fusée, il prend des valeurs allant de 0,8 à 1,9

Stanton et Biblarz font remarquer que la poussée du moteur à réaction est indépendante de la vitesse de la fusée. Les limites à l'accroissement de vitesse d'une fusée dans l'atmosphère seront donc à trouver dans sa traînée aérodynamique.

Ajout à l'article "Théorie des corps élancés"

Ajout effectué le 25/04/22 !

Le comportement très contre intuitif du cône de rétreint.

Portance et déportance des cônes selon la théorie des Corps Élancés

Ainsi qu'il a été dit plus haut, lorsqu'un élément d'un corps montre une évolution négative de ses sections (accroissement $dS$ négatif lorsque l'on va vers l'arrière), comme par exemple un cône de rétreint (c.-à-d. un cône dont la pointe est en arrière), cet élément placé en incidence va développer un $C_{n\alpha }$ négatif. Ce comportement du cône de rétreint est très contre intuitif dans la mesure où l'on perçoit ce cône comme se mettant en travers du vent et donc comme un élément stabilisateur (comme un genre d'empennage). Or (schéma ci-contre) le cône de rétreint placé en incidence génère bien, non pas une portance, mais une déportance (cette déportance se conjuguant, par exemple, avec la portance de l'ogive pour créer un fort moment déstabilisateur, le fameux moment de Munk).

L'apport de l'expérience

Expérience très contre intuitive du cône de rétreint articulé autour de sa pointe (vue de dessus).

Imaginons un cône de rétreint articulé autour d'un axe passant par sa pointe. Plaçons-le en incidence comme sur le schéma ci-contre. Cette situation de départ posée, la question est : Comment va se comporter le cône ? Il y a deux façons contraires de raisonner :

• Raisonnement intuitif :

Le cône s'est mis en travers du vent. En conséquence, il va être entraîné par le vent et augmenter son incidence.

• Raisonnement éclairé par la Théorie des Corps Élancés :

Nous savons qu'en application de la Théorie des Corps Élancés ce cône va développer une déportance (c'est la force bleue symbolisée sur le schéma). Cette force tend à ramener le cône à sa position neutre (sans incidence). Ce raisonnement est très contre intuitif.

Le cône de rétreint dans la veine d'essais. L'écoulement d'air vient de la gauche.

Conditions de l'expérience : L'image ci-contre à gauche montre le dispositif expérimental installé dans le flux d'air d'une soufflerie artisanale. Il faut noter que la grande section du cône est recouverte par une calotte sphérique dont le centre est situé sur l'axe de rotation du cône : ainsi l'effet du jeu des pressions sur la calotte sphérique ne participe pas à la rotation.

Expérience du cône de rétreint articulé autour de sa pointe.

Verdict de l'expérience : Au vu de la vidéo ci-contre, on remarque bien que chaque mise en incidence du cône est suivie d'un retour au neutre. Le phénomène auquel on est confronté, cependant, c'est que tous ces retours au neutre sont plus forts qu'il serait nécessaire ; ce qui fait que le cône, après un certain nombre d'oscillations, fini par attendre les limites de l'expérience (il finit par percuter de part et d'autre les butées qui ont été préalablement installées, à 25° de chaque côté de l'axe).
On peut donc dire qu'il existe une stabilité statique du cône de rétreint (une tendance instantanée à revenir au neutre), mais que la trop grande force des retours au neutre le met en situation d'instabilité dynamique.

Le cône de rétreint en soufflerie... avec amortissement.

Par chance, il est facile d’annihiler cette trop grande force des retours au neutre : on peut amortir visqueusement la rotation du cône en faisant tourner l'axe de celui-ci dans de la graisse de vaseline : L'énergie trop forte des retours au neutre est alors diminuée : le mouvement est amorti. On observe alors que le cône de rétreint se maintient face au vent de la soufflerie, malgré les turbulences de cette soufflerie (vidéo ci-contre).

À quoi est due cette instabilité dynamique ?

Il est facile de comprendre que sur chaque point du cône, la combinaison des vitesses (vitesse de l'écoulement d'air et vitesse géométrique propre du point du cône lors de son retour au neutre) rend les efforts aérodynamiques des retours au neutre plus forts qu'il ne faudrait et en tout cas plus fort que les efforts aérodynamiques qui naîtraient autour du cône immobilisé en rotation (autrement dit, le retour au neutre du cône, qui se fait, rappelons-le contre le vent, augmente la force du vent, donc les efforts de retour au neutre).

Inversement, les efforts aérodynamiques de retour au neutre d'une ogive, du fait de la même combinaison des vitesses (vitesse de l'écoulement et vitesse propre des points de l'ogive) sont toujours amortis. Il en est de même pour les retours au neutre suscités par les ailerons d'empennage, qui sont eux aussi amortis par le même phénomène de combinaison des vitesses. Cela s'observe à l'amortissement des oscillations d'une fusée lors de son vol, ou même à l'amortissement des oscillations d'une simple girouette.

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Intégration de la vitesse dans l'article Forme_d'une_goutte_de_pluie

L'article indique déjà :

Autrement dit :

$\rho _{\rm {liq}}\,R^{3}\,\left({\frac {4}{3}}\pi g-{\frac {4}{3}}\pi {\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}t}}\right)={\frac {1}{2}}\rho _{\rm {air}}\,V^{2}\,\pi R^{2}\ C_{x}$

Le $C_{x}$ présent dans cette équation peut être pris, en ordre de grandeur, comme unitaire (voir la courbe rouge ci-contre).

Après simplifications, on gagne à présenter la précédente égalité sous la forme suivante :

${\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}t}}+{\bigg [}{\frac {\rho _{\rm {air}}}{\rho _{\rm {liq}}}}\ {\frac {3}{8R}}\ C_{x}{\bigg ]}\ V^{2}=g$

En effet, on peut y reconnaître l'équation différentielle classique :

$V'+a\ V^{2}=g$

la variable de $V$ et $V'$étant bien sûr le temps $t$, $a$ représentant le contenu des grands crochets et $g$ toujours l'accélération de la pesanteur.

Pour intégrer cette équation différentielle, il faut s'assurer que le contenu $a$ des grands crochets est une constante. Ce sera le cas si le $C_{x}$ est pris comme constant. Au demeurant, il est facile de comprendre que, quel que soit le $C_{x}$ (variable) éprouvé par la goutte lors de son accélération dans l'air, sa vitesse terminale finira par être fonction de son $C_{x}$ terminal (c.-à-d. le $C_{x}$ correspondant à cette vitesse terminale, ou plus exactement au Reynolds à cette vitesse terminale). Il n'y a donc pas d'objection à l'intégration.

La solution de l'intégration de l'équation différentielle ci-dessus est, classiquement :

$V={\frac {{\sqrt {g}}\;Tanh(a\ {\sqrt {g}}\ t)}{\sqrt {a}}}$

du moins si l'on fait usage de la condition initiale $V(t=0)=0$

Cette intrusion de la fonction tangente hyperbolique est habituelle dans les calculs de balistique.

Par chance, pour le temps très grand auquel la goutte va connaître sa vitesse de chute stabilisée $V_{\infty }$, la fonction $Tanh$ tend vers l'unité. On dégage donc :

$V_{\infty }={\sqrt {\frac {g}{a}}}$

soit :

$V_{\infty }={\sqrt {\frac {g}{{\bigg [}{\frac {\rho _{\rm {air}}}{\rho _{\rm {liq}}}}\ {\frac {3}{4D}}\ C_{x}{\bigg ]}}}}$

du moins si l'on utilise préférentiellement le diamètre D de la sphère. Ce qui peut s'écrire encore :

$V_{\infty }={\sqrt {{\frac {\rho _{\rm {liq}}}{\rho _{\rm {air}}}}{\frac {4\ g\ D}{3\ C_{x}}}}}$

Observation de ce résultat :

Vitesse et Reynolds gouttes d'eau dans l'air selon leur diamètre, Beard & Pruppacher

Vitesse des gouttes d'eau de diamètre < 1mm.

Animation de la déformation des gouttes de pluie selon leur diamètre

• Dans leur ouvrage essentiel, Clift, Grace et Weber proposent le même libellé pour la vitesse terminale des sphères rigides (si l'on néglige également la Poussée d'Archimède de l'air sur la goutte).
  

Les mêmes auteurs notent qu'entre les Reynolds 750 et 350 000 le $Cx$ de sphères rigides se montre à peu près constant et égal à $0,445$ mais cette plage de Reynolds est justement celle où les gouttes perdent progressivement leur forme sphérique (ce que l'on observe ci-contre à gauche sur le graphe du $C_{x}$ de la sphère en fonction du diamètre au fait que la courbe du $C_{x}$ diverge de la courbe fuchsia réservée aux sphères lisses).

Voir aussi à gauche l'animation montrant la déformation des gouttes de pluie (les cercles rouges représentent les sphères équivalentes aux gouttes).

• À l'observation de ce résultat, on peut être tenté de penser que la vitesse terminale $V_{\infty }$ est fonction de la racine carrée du diamètre, alors que les graphes de Beard et Pruppacher (ci-contre à droite) indiquent une vitesse terminale évoluant linéairement avec le diamètre (au moins pour les diamètres inférieurs à 1 mm). La raison de ce paradoxe apparent est que le $C_{x}$ n'est pas constant mais, au contraire, variable avec le diamètre et le Reynolds, comme l'indique le graphe ci-dessus à gauche ainsi que le grand graphe du Cx de la sphère selon le Reynolds.

• Tous les calculs ci-dessus ont été faits en utilisant comme diamètre des gouttes le diamètre de la sphère équivalente, c.-à-d. le diamètre de la sphère de même volume que la goutte. C'est une habitude chez les physiciens-météorologues puisqu'ils sont confrontés à des gouttes dont la forme n'est pas forcément sphérique (au moins pour les plus grosses)(c'est d'ailleurs ce qui explique que sur le graphe du Cx de la sphère aux différents Reynolds, la courbe "brouillard et pluie" diverge de la courbe rouge des sphères rigides). Il faut d'ailleurs ajouter que le $C_{x}$ utilisé dans ces mêmes calculs et dans les différents graphes est établi en référence à la surface frontale de la sphère de même volume que la goutte ; de même, le Reynolds est construit en référence au diamètre de cette sphère de même volume.

• Avec ce libellé de la vitesse de chute stabilisée (ou vitesse terminale), on peut calculer la Traînée $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{\rm {air}}V_{\infty }^{2}\ (\pi R^{2})\ C_{x}$ : on trouve alors comme libellé de cette traînée le poids de la goutte.

Éclatement d'une grosse goutte de pluie.

• Quand le rayon $R$ est fort, la vitesse $V_{\infty }$ est aussi plus forte. Inversement, cela explique que dans la nature, les très petites gouttes de liquide (comme celles créant le brouillard) chutent avec une vitesse très faible alors que les grosses gouttes de pluie chutent avec une forte vitesse : Lorsque les gouttes de pluie atteignent un diamètre de 5,5 à 6 mm, leur vitesse est si forte que les efforts aérodynamiques les font éclater ; ceci explique qu'il n'existe pas de goutte de pluie de diamètre supérieur à 5,5 ou 6 mm (animation ci-contre).

• Pour une masse volumique $\rho _{\rm {air}}$ plus forte, la vitesse terminale $V_{\infty }$ est plus faible. Inversement, dans le vide (pour $\rho _{\rm {air}}=0$) , une goutte acquerrait une vitesse quasi infinie (du moins si la goutte ne s'évaporait pas immédiatement).
• Quand le $C_{x}$ de la goutte est plus fort (goutte déformée, par exemple), la $V_{\infty }$ est plus faible : le $C_{x}$ a donc bien un rôle de freinage...

Fin du travail sur l'article Forme_d'une_goutte_de_pluie

Cet ajout a été effectué le 25/04/22 dans l'article Forme d'une goutte de pluie.

Ajout à l'article Écoulement de Stokes :

Vitesse terminale des gouttes d'eau dans l'air :

Vitesse terminale des gouttes d'eau de diamètre inférieur à 1mm

La vitesse de chute stabilisée $V$ d’une goutte de diamètre $D$ tombant dans l’air à très petit nombre de Reynolds peut être tirée de l’égalité entre sa traînée T aérodynamique et son poids, à savoir :

$T=3\pi \mu _{air}VD=(\pi D^{3}/6)(\rho _{eau}-\rho _{air})g$

où $\mu _{air}$ est la viscosité dynamique de l’air, $\rho _{eau}$ est la masse volumique de l’eau, $\rho _{air}$ est la masse volumique de l’air et g l'accélération de la pesanteur.

On peut tirer de l’égalité précédente la valeur de la vitesse de chute stabilisée $V$ de cette goutte de diamètre $D$ :

$V={\frac {D^{2}(\rho _{eau}-\rho _{air})g}{18\mu _{air}}}$

Pour des gouttes composées essentiellement d’eau décantant dans l’air, on peut prendre $\mu _{air}$ comme valant $1,82\ 10^{5}$ et $(\rho _{eau}-\rho _{air})\approx \rho _{eau}=1000\ Kg/m^{3}$. On dégage alors :

$V_{cm/s}\approx 3\ 10^{-3}D_{\mu m}^{2}$,

$V_{cm/s}$ étant comme précisé exprimée en ${cm/s}$ et le diamètre $D_{\mu m}$ en microns.

Ce libellé dessine la parabole rouge marquée "Régime de Stokes" en traits d'axe à gauche du graphe ci-dessus.

La formule de Stokes de la traînée hydraulique $T=3\pi \ \mu _{air}VD$ n'est en principe valide que pour les Reynolds diamétraux $Re_{D}={\frac {VD}{\nu }}$ très inférieurs à 1 mais, dans la pratique, les mesures de traînée des sphères la confirment jusqu'au Reynolds unitaire.

Bien sûr, il est loisible à chacun d’exprimer cette traînée hydraulique en fonction du $C_{x}$ quadratique utilisé au haut Reynolds (même si ce $C_{x}$ quadratique n'a aucune signification physique en régime de Stokes). On peut en effet écrire, en reprenant la définition de ce $C_{x}$ quadratique :

$C_{x}={\frac {3\pi \ \mu _{air}VD}{\textstyle {\frac {1}{2}}\rho V2{\frac {\pi D^{2}}{4}}}}$

Ce qui donne, après simplification :

$C_{x}={\frac {24}{Re_{D}}}$

avec bien sûr $Re_{D}={\frac {VD}{\nu }}$.

Une mauvaise lecture de ce coefficient quadratique de traînée $C_{x}$ peut laisser penser que la traînée est variable avec le Reynolds, mais c'est ce $C_{x}$ quadratique qui est variable (il croît vertigineusement lorsque le Reynolds tend vers zéro) et non la traînée (par définition, la traînée est constante en régime de Stokes).

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Le théorème de Hill et Power en ce qui concerne la traînée d'un corps en régime de Stokes

Encadrement de la traînée du tore jointif en régime de Stokes tel que proposé par Hill and Power

Le théorème de Hill et Power tend à être nommé « théorème d’inclusion monotone de Hill et Power valable en régime de Stokes » (inclusion monotonicity of resistance for Stokes flows, en anglais ).

Hill et Power démontrèrent en 1955 que la traînée d’une particule solide en régime de Stokes est plus forte que celle de tout corps inscrit dans cette particule mais plus faible que celle de tout corps circonscrit à cette particule (l'ensemble des trois corps se déplaçant à la même vitesse dans le même fluide newtonien).
Dans leur texte, à l'issue de leur démonstration, Hill et Power prennent l'exemple du tore jointif (ou tore fermé) en translation axiale, corps dont la traînée en régime de Stokes n'était alors pas connue (la translation est verticale dans l'image ci-contre où la section de ce tore est en vert). En usant de leur théorème, Hill et Power encadrent la traînée inconnue du tore jointif :

• par la limite inférieure qu'est la traînée en translation verticale d'un disque circulaire inscrit dans le tore (ce disque est en bleu dans l'image ci-contre, disposé horizontalement) ;
• par la limite supérieure qu'est la traînée d'un ellipsoïde aplati en translation verticale (corps en rouge dans l'image ci-contre).
  

La traînée du disque circulaire inscrit (en bleu) lors d'une translation verticale est évidemment $8D\mu V$ (si $D$ est le diamètre du disque circulaire, $V$ est la vitesse de translation et $\mu$ la viscosité dynamique du fluide) .

La traînée de l'ellipsoïde aplati en déplacement vertical est, quant à elle, $8,886D\mu V$ , d'après les équations d'Oberbeck (1876) ($D$ étant toujours le grand diamètre de cet ellipsoïde, qui est également celui du disque inscrit).
On peut noter que ces deux traînées connues sont relativement proches.
Par la vertu de leur théorème, Hill et Power affirment donc que la traînée du tore jointif est comprise entre $8D\mu V$ et $8,886D\mu V$.

Depuis la publication de Hill et Power, la traînée du tore jointif a été caculée par Tagaki et précisée en 1974 par Wakiya comme valant $8,816D\mu V$, $D$ étant toujours le diamètre du disque inscrit.

Autres exemples

Encadrement de la traînée du cube en régime de Stokes, théorème de Hill et Power

Encadrement de la traînée du cube

La traînée du cube en régime de Stokes n'ayant pu être calculée exactement, de nombreux auteurs l'ont encadrée par celle des sphères circonscrite au cube et inscrit dans ce cube (image ci-contre). Il en résulte que la traînée du cube en régime de Stokes est située entre $3\pi \mu Va$ et $3\pi {\sqrt {3}}\pi \mu Va$ (si $\mu$ est la viscosité du fluide, $V$ la vitesse de décantation et $a$ le côté du cube).

La traînée du cube en régime de Stokes a été évaluée par l'expérience de façon satisfaisante à $4\pi \mu Va$, ceci dans n'importe quelle position.

Encadrement de la traînée d'un corps ovoïde (ou en œuf)

Encadrement de la traînée d'un corps ovoïde.

La traînée en régime de Stokes du corps en forme d’œuf ci-contre peut être encadrée en application du théorème de Hill et Power ; cette traînée doit en effet être plus forte que celle de la sphère inscrite et plus faible que celle de l'ellipsoïde circonscrit. Lors de déplacements horizontaux (ou axiaux), si $D$ est le diamètre du corps, la traînée de la sphère inscrite est $3\pi \ \mu VD$ (soit $9,425\ \mu VD$) alors que la traînée de l'ellipsoïde circonscrit d'élancement 3 est $13,2\ \mu VD$. La traînée du corps en œuf se situe donc entre $9,425\ \mu VD$ et $13,2\ \mu VD$. L'intervalle entre ces deux bornes mesure quand même 28 % de la borne supérieure.
Le même calcul peut évidemment être fait pour les déplacements verticaux (ou transverses) du même corps.

Encadrement de la traînée du tonneau

Encadrement de la traînée du tonneau.

La traînée en régime de Stokes du corps en forme de tonneau ci-contre peut être encadrée. En application du théorème de Hill et Power, cette traînée doit être plus forte que celle de l’ellipsoïde de révolution circonscrit et plus faible que celle de l'ellipsoïde circonscrit d'élancement 5,8 (qui a été tronqué pour donner le corps en tonneau). Lors de déplacements horizontaux (ou axiaux), si $D$ est le diamètre des corps, la traînée de l'ellipsoïde inscrit (d'élancement 4) est $15,6\ \mu VD$ alors que la traînée de l'ellipsoïde circonscrit d'élancement 5,8 est $18,19\ \mu VD$. La traînée du corps en œuf se situe donc entre $15,6\ \mu VD$ et $18,19\ \mu VD$. L’intervalle entre ces deux bornes vaut 14 % de la borne supérieure.
Si l'on adopte comme borne supérieure la traînée du cylindre d'élancement 4, soit $18,305D$, cette borne supérieure n'est pas plus favorable à la précision de l'encadrement.
Le même calcul peut évidemment être fait pour les déplacements verticaux (ou transverses) du même corps.

Encadrement de la traînée de l'hémisphère plein

En application du théorème de Hill et Power, on peut affirmer qu'en régime de Stokes la traînée d'un hémisphère plein en mouvement parallèle à son axe de symétrie se situe entre la traînée frontale du disque inscrit ($8\ \mu VD$) et la traînée de la sphère complète ($3\pi \ \mu VD$, soit $9,425\ \mu VD$. L’intervalle entre ces deux bornes vaut 15 % de la borne supérieure.

Affinage de ce résultat : La trainée de l'hémisphère creux calculée exactement par Swanson et Teller (1978), ainsi que Collins (1963), est citée par Ui comme valant $8,7124\ \mu VD$ ($D$ étant le diamètre de la sphère intègre), on peut songer à inscrire cet hémisphère creux dans l'hémisphère plein.

Si la traînée de la sphère complète ( $3\pi \ \mu VD$, soit $9,425\ \mu VD$) est toujours adoptée comme borne supérieure, on peut alors écrire que la traînée de l'hémisphère plein est bornée par $8,7124\ \mu VD$ et $9,425\ \mu VD$. La largeur de cette plage de traînée représente moins de 8 % de la borne supérieure.

Corollaires du théorème de Hill et Power

Le peu d’importance de la rugosité des corps en régime de Stokes :

Rugosification d'une sphère en régime de Stokes, théorème de Hill et Power

La traînée d’une particule en régime de Stokes est relativement peu sensible à sa rugosité. Cette faible sensibilité à la rugosité découle logiquement du théorème de Hill et Power qui démontre qu’en régime de Stokes, la traînée éprouvée par une particule est encadrée par celle d’un corps inscrit dans la particule et celle d’un corps circonscrit à la particule. En conséquence, la rugosité d’une particule ne change pas significativement sa traînée puisque cette traînée peut être étroitement encadrée par celles de deux corps lisses (les corps inscrit et circonscrit à la particule).* Ainsi (image ci-contre) lorsque l'on rend rugueuse la sphère de diamètre D (rugosités rouges dont le fond dessine, par exemple, une sphère de 0,94D), sa traînée est comprise entre celle de la sphère d'origine et 0,94 fois cette traînée d'origine (c.-à-d. que sa traînée est diminuée).
Il peut paraître contre intuitif que la traînée d'un corps soit diminuée quand on le rend plus rugueux, mais la Mécanique des Fluides fournit des cas également contre intuitifs, à haut Reynolds, où la rugosité diminue la traînée des corps (voir à ce sujet l'article crise de traînée de la sphère).

Augmentation de la traînée due à la présence d'autres corps

Dans leur texte, Hill et Power démontrent que la traînée d'un corps en régime de Stokes est accrue par la présence d'autres corps.

Viscosité apparente d'un fluide où décantent une suspension de solides.

De même, ils annoncent que la viscosité apparente d'un fluide contenant une suspension de solides est une fonction croissante monotone de la concentration volumique de cette suspension.

Extension du régime de Stokes vers les plus haut Reynolds

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Équations pour le $C_{x}$ quadratique en régime d'Oseen

Carl Wilhelm Oseen, en incluant le terme inertiel de manière approchée (linéarisée) dans les équations de Navier-Stokes, a pu étendre la connaissance de la traînée de la sphère un peu au delà des Reynolds presque nuls du régime de Stokes et calculer analytiquement la force exercée sur une sphère :

$\mathbf {F} =-3\pi \mu D\mathbf {U} \left(1+{\frac {3}{16}}Re\right)$

où $Re$ est le nombre de Reynolds basé sur le diamètre D :

$Re={\frac {\rho UD}{\mu }}$

Cependant, si l'expression due à Stokes sous-estime la traînée au delà du Reynolds unitaire, l'expression d'Oseen montre au contraire une tendance à la surestimer en comparaison avec les résultats d'essais (courbes ci-contre du $C_{x}$ quadratique).
Clift, Grace et Weber écrivent d'ailleurs :

"Les solutions analytiques [aux équations de Navier-Stokes] pour l'écoulement autour de la sphère ont peu de valeur pour Re >1. Pour un Reynolds diamétral plus grand que l'unité, il faudra donc en revenir aux équations complètes de Navier-Stokes, tandis que des équations empiriques seront utilisées pour le $C_{x}$."

De sorte que pour connaître la traînée de la sphère en régime d'Oseen (pour les Reynolds diamétraux un peu plus forts que l'unité), il peut apparaître préférable d'utiliser les équations empiriques déterminées par l'expérience même si lesdites équations empiriques ne bénéficient d'aucune justification théorique.
En particulier, Clift, Grace et Weber donnent dans leur ouvrage les équations permettant de dessiner le $C_{x}$ de la sphère tronçon par tronçon sur toute la plage de Reynolds possibles.
Pour les faibles Reynolds, ils prônent les équations :
Pour $Re<0,01$ : $C_{xquad}={\frac {2}{16}}+{\frac {24}{Re}}$

Et pour $0,01<Re\leqslant 20$ : $C_{xquad}={\frac {24}{Re}}\left[1+0,1315\;Re^{0,82-0,0217\,Ln(Re)}\right]$
(ces deux équations dessinent la courbe rouge pour $Re\leqslant 20$ du graphe ci-dessus)

Question du graphe "tout fluide"

Apport publié le 02/12/21 dans Couche Limite

BIBLIOGRAPHIE

• Adhémar-Jean-Claude Barré de Saint Venant, NOTICE SUR LA VIE ET LES OUVRAGES DE PIERRE-LOUIS-GEORGES, COMTE DU BUAT, Lille, DANEL, 1866 (lire en ligne)
• M. le chevalier DU BUAT, PRINCIPES D'HYDRAULIQUE vérifiés par un grand nombre d'Expériences faites par ordre du Gouvernement, par le chevalier DU BUAT, Tome premier, Paris, De l'imprimerie de Monsieur, 1786 (lire en ligne)

Rétroviseurs

La combinaison du rétroviseur avec le montant de pare-brise entraîne la création d’une longue allée de vortex le long de l’habitacle, allée de vortex génératrice de traînée. Un rétroviseur externe très bien conçu accroît la traînée d’une voiture d’approximativement $\Delta C_{x}=0,012$. Mais ce surplus de $C_{x}$ peut atteindre 0,025 à 0,030 pour les rétroviseurs les plus mal conçus. Il est donc raisonnable de se baser sur un $\Delta C_{x}\;{\text{de}}\;0,015$.

Le 15 novembre 21 je me lance dans une évocation des apports de du Buat par St Venant (pour l'article sur Du Buat. Cet ajout a été apporté à l'article "du Buat" en décembre 21. Le 11 Avril 22 le menu déroulant explicitant le calcul du parachute par Du Buat a été inséré dans l'article Parachute dans la section Préliminaires anciens|.

Les apports de du Buat à la mécanique des fluides :

À propos des apports de du Buat à la mécanique des fluides

Dispositif de mesure des pressions de Du Buat

Barré de St Venant écrit dans sa notice consacrée aux apports de du Buat : « [Du Buat] reconnaît ingénuement, du reste, dans la question de la résistance des fluides, "n'avoir guère fait que détruire l'ancien édifice théorique" conservé dans tous les ouvrages de science navale, dans ceux même d'Euler quoique déjà battu en brèche par des faits nombreux, [...] ».

Citons quelques-uns des apports magistraux de du Buat à la mécanique des fluides:

À propos de l'existence d'une dépression de culot :

Le même Barré de Saint Venant note, à propos de l’existence d’une dépression de culot à l’arrière des corps : "Il fit voir ainsi que [dans un courant d'eau] l'avant du corps, ou la partie exposée directement au choc, supportait une pression supérieure à la pression régnant au même niveau dans le courant antérieurement à l'introduction du corps solide ; et qu'en même temps l'arrière éprouvait une pression constamment inférieure à cette même pression primitive ; de sorte que le mouvement relatif du fluide et du solide engendre, sur ce côté postérieur, ce qu'il appelé une non-pression ou une sorte de succion ou d'attraction agissant dans le même sens que la pression sur l'avant."
Du Buat lui-même écrivait dans le discours préliminaire de son texte PRINCIPES D'HYDRAULIQUE : "[...] nous avons été assez heureux pour décomposer la résistance qu'un corps essuie pour se mouvoir dans un fluide, en deux efforts distincts, l'un qui s'exerce comme une pression en avant du corps, & l'autre comme un défaut de pression en arrière. Le premier est constant, si la grandeur & la forme du devant du corps restent les mêmes. Le second varie suivant la longueur du corps, & diminue toujours à mesure que cette longueur augmente, indépendamment de la forme de l'arrière du corps qui fait aussi varier cette non-pression. La somme de ces deux efforts est sensiblement proportionnelle aux quarrés des vitesses, lorsqu'elles n'excèdent pas 3 à 4 pieds par seconde dans l'eau, & 20 à 24 pieds dans l'air [...]."

À propos du freinage que l’eau d’un fleuve ressent de la part de son lit :

Dans le texte de St Venant on lit même : « Je me mis donc à considérer que si l'eau était parfaitement fluide et coulait dans un lit de la part duquel elle n'éprouvât aucune résistance, elle accélèrerait son mouvement à la manière des corps qui glissent [de plus en plus vite ] sur un plan incliné ; puisqu'il n'en est pas ainsi, il existe quelque obstacle qui empêche la force accélératrice de lui imprimer de nouveaux degrés de vitesse. Or, en quoi peut consister cet obstacle sinon dans le frottement que l'eau essuie de la part des parois du lit, et dans la viscosité du fluide ? » « C'est donc, conclue-t-il, un principe évident et certain tout à la fois que quand l'eau coule uniformément dans un lit quelconque, la force qui l'oblige à couler est égale à la somme des résistances qu'elle essuie soit par sa propre viscosité soit par le frottement du lit.. On verra quelle est la fécondité de cette loi. » Saint Venant ajoute : « Du Buat a rendu cet énoncé à la fois plus simple et plus exact dans son texte de 1786 (au n° 20) en égalant seulement la force qui meut l'eau à la résistance qu'elle éprouve , et que l'on voit, plus loin, être seulement celle du lit ou de la paroi, sans y joindre la viscosité.  »

Détermination de la taille du parachute par M. le chevalier Du Buat

En se basant sur ses propres mesures de traînée (dans l'eau) Pierre_du_Buat a calculé en 1786 qu'un homme doté d'un parachute de 18 pieds de diamètre (en forme de disque circulaire) pourrait résister « à la commotion qui termine la chute » [c.-à-d. le choc de l'atterrissage], la vitesse d’atterrissage étant fixée à 19 pieds par secondes.

Vérification :

Du Buat effectue son calcul en prenant le « poids d’un homme de 150 livres, & celui de la machine de 30 [livres]. » Le texte de du Buat date de 1786. L’unité « de poids » (plus exactement de masse) en France valait alors 0,4895 Kg.

En unité moderne, la masse de l’homme et du parachute est alors : $(150+30)*0,4895=88,11\,Kg$>. Et leur poids :$Mg=88.11\,Kg*9,81\,m/s^{2}$

Cette force en newtons doit être équilibrée par la traînée aérodynamique du parachute. Celle-ci vaut, selon la formule classique : $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho V^{2}SC_{x}=\textstyle {\frac {1}{2}}*1,225(19*0,32484m)^{2}*{\frac {\pi (18*0,32484m)^{2}}{4}}C_{x}$ (en prenant le pied à 0,32484 m)

D'où l'on tire le $C_{x}$ d'un disque tel que déterminé par du Buat comme valant $1,38$. Ce n’est pas si mal puisque la valeur admise de nos jours pour le Cx d’un disque est $1,1$…

Bibliographie

• Adhémar-Jean-Claude Barré de Saint Venant, NOTICE SUR LA VIE ET LES OUVRAGES DE PIERRE-LOUIS-GEORGES, COMTE DU BUAT, Lille, DANEL, 1866 (lire en ligne)
• M. le chevalier DU BUAT, PRINCIPES D'HYDRAULIQUE vérifiés par un grand nombre d'Expériences faites par ordre du Gouvernement, par le chevalier DU BUAT, Tome premier, Paris, De l'imprimerie de Monsieur, 1786 (lire en ligne)

Le 21 octobre, je me lance dans le fameux coefficient de Smeaton, ce qui n'est pas une mince affaire vu le problème des unités médiévales utilisées par Smeaton et ses successeurs et vu les nombreuse divergences des différents auteurs actuels en ce qui concerne ce fameux coefficient. Les ajouts ci-dessous sont opérés le 28 octobre 21 !

Le coefficient de Smeaton (aérodynamique)

La table de Mr. Rouse donnant les efforts sur un plaque dus au vent, citée par Smeaton, 1759

En 1759, John Smeaton publia un texte titré « Une étude expérimentale concernant les pouvoirs naturels de l’eau et de l’air de faire tourner les moulins et autres machines en mouvement circulaire ». George Cayley commente ainsi le texte de Smeaton et surtout la table de Mr. Rouse qu'y cite Smeaton (image ci-contre) : « Le résultat des expériences et observations de Mr Smeaton était qu’une surface plane d’un pied carré rencontre une résistance d’une Livre-force quand elle se déplace dans l’air perpendiculairement à elle-même à une vitesse de 21 pieds par seconde. »

La plupart des auteurs exprimèrent plutôt, cependant, la vitesse de la surface plane en Miles/heure. À cet aune, ils énonçaient que :

• « Une surface plane d’un pied carré rencontre une résistance de 0,005 Livres-force à la vitesse de 1 Mile/h. »

Les dépendances de cette résistance envers le carré de la vitesse relative de l’air et envers la surface de la plaque étant constatées par Smeaton et beaucoup d’autres, le constat précédent pouvait être étendu à toutes les plaques exposées à toutes les vitesses de vent :

$F=0,005\;S\;V^{2}$

…pourvu que $F$ soit exprimé en Livre-force, que la surface $S$ de la plaque soit exprimée en pieds carrés et que la vitesse relative de l’air $V$ soit exprimée en Miles/heure.

Pendant 150 ans (jusqu'à l’essor des frères Wright) les chercheurs utilisèrent les concepts et mesures de Smeaton ainsi que cette constante de proportionnalité 0,005 pour quantifier cette notion basique de pression de Smeaton sur des plaques se déplaçant frontalement dans l’air, cette pression (ou plutôt cette surpression) variant comme le carré de la vitesse du fluide.

Il est important, à ce stade de la réflexion, de remarquer que ledit coefficient de Smeaton intègre la Masse volumique de l’air. De même qu’il faut remarquer que l'antique pression de Smeaton qu'on en tirait fut jugée longtemps comme s’appliquant à l’intégralité de la face avant de la plaque plane exposée au mouvement de l’air.

Mais la valeur 0,005 de ce fameux Coefficient de Smeaton était erronée. Ce constat inquiéta beaucoup les frères Wright qui s’étaient basés dessus pour concevoir leurs premiers planeurs.

La soufflerie des frères Wright.

Cette déception les incita à effectuer eux-mêmes des mesures d’efforts dans une soufflerie de leur construction. Par ce moyen, ils purent corriger l’antique Coefficient de Smeaton et lui donner la valeur exacte de 0,003 (valeur que nous calculons ci-dessous).

Démonstration de la vraie valeur du Coefficient de Smeaton

Pendant presque 150 ans, la valeur 0,005 a été admise pour le coefficient de Smeaton. Ce coefficient de Smeaton indiquait qu’une surface plane d’un pied carré rencontrait une résistance de 0,005 Livres-force à la vitesse de 1 Mile/h.

Pour connaître la Traînée frontale $F$ d’une plaque quelconque placée dans un vent de vitesse quelconque, on écrivait donc :

$F=0,005\;S\;V^{2}$

…pourvu que $F$ soit exprimé en Livre-force, que la surface $S$ de la plaque soit exprimée en pieds carrés et que la vitesse relative de l’air $V$ soit exprimée en Miles/heure.

Comme une Livre-force équivaut à 4,448 Newton, la traînée aérodynamique d’une surface plane d’un pied carré à 1 Mile/heure équivaut à 0,005*4,448 Newton, soit 0,0222 N.

Calculons à présent la traînée exacte de cette plaque d’un pied carré à 1 mile/heure avec nos équations et unités scientifiques modernes :

On sait cette traînée $F$ donnée par l’équation :

$F={\frac {1}{2}}\;\rho \;V^{2}\;S\;C_{x}$

Comme un pied carré équivaut à 0,093 m² et qu’un Mile/h équivaut à 0,447 m/s, on peut écrire, en prenant 1,225 Kg/m³ pour la Masse volumique de l’air et en adoptant un $C_{x}$ de 1,19 pour la plaque plane :

$={\frac {1}{2}}\;1,225\;(0,447m/s)^{2}\;0,093m^{2}\;1,19=0,0135\;N$

On remarque que cette traînée moderne est plus faible que celle déterminée par l’antique coefficient de Smeaton. Elle est 0,61 fois plus faible. Ce qui signifie que le Coefficient de Smeaton est trop fort. Il devrait être pris à 0,61*0,005, soit 0,003.

Cette valeur de 0,003 fut celle dégagée à l’issue de leurs essais par les frères Wright.

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Votre baptême de l'air en Flyer, raconté par Orville Wright

"Afin de faire comprendre au lecteur la façon dont la machine fonctionne, qu’il s’imagine dans les derniers préparatifs pour le départ. La machine est déjà installée sur son rail unique, face au vent et est fermement attachée à ce rail par un câble en acier. Le moteur est mis en marche et les hélices tourbillonnent. Vous gagnez votre siège au centre de la machine au côté du pilote. Celui-ci, à l’aide d’un levier spécial, libère le câble en acier qui retenait l’aéroplane et vous bondissez en avant. Un assistant qui tenait la machine en équilibre sur le rail [afin que ses ailes ne touchent pas le sol] s’élance avec vous, mais avant que vous ayez parcouru cinquante pieds [16 mètres] la vitesse est devenu trop grande pour lui et il doit lâcher prise. Avant d'atteindre l’extrémité du rail, le pilote agit sur le gouvernail avant et la machine se soulève du rail comme un cerf-volant soulevé par la pression de l'air. Le sol sous vous est d'abord un flou parfait, mais au fur et à mesure que vous vous élevez, les objets deviennent plus clairs. Bientôt cependant, parvenu à une hauteur de cent pieds [30 mètres], vous ne ressentez pratiquement aucune impression de mouvement, à l'exception du vent qui frappe votre visage. Si vous n’avez pas pris la précaution d’attacher fermement votre chapeau avant le départ, vous l’avez déjà perdu à ce moment-là… Le pilote actionne un levier et l’aile droite s’élève et l’aéroplane s’incline sur sa gauche. Vous êtes en train d’effectuer un virage très serré vers la gauche, mais vous n’éprouvez aucunement la sensation d’être chassé vers la droite comme c’est si souvent le cas en voiture ou en train. Vous vous retrouvez bientôt face au point d’où vous avez décollé. Les objets visibles au sol semblent maintenant se déplacer avec une vitesse plus forte, ceci bien que vous ne ressentiez aucun changement dans la force du vent sur votre visage. C’est que vous volez à présent « vent arrière » [et que la vitesse du vent s’ajoute à la vitesse de votre aéroplane par rapport au sol]. Quand vous approchez de votre point de départ, le pilote arrête le moteur alors que vous êtes encore assez haut au dessus du sol. La machine plane à présent vers le sol, puis le sol se rapproche et l’aéroplane vient y effectuer une glissade de 50 ou 100 pieds [15 ou 30 mètres] avant de s’arrêter. Bien que l’atterrissage se fasse souvent à une vitesse d’un mile à la minute [~100 km/h], vous n’avez pourtant senti aucun choc et ne pouvez dire à quel moment l’aéroplane a touché le sol. Le moteur derrière vous a produit un rugissement presque assourdissant pendant tout le vol, mais dans votre excitation, vous ne l'avez pas remarqué jusqu'à ce qu'il se soit arrêté."

Note du traducteur :

• Les textes entre crochets sont des ajouts du traducteur.
• L'original en anglais de ce texte a été publié par "Century Magazine" en septembre 1908 sous le titre : “The Wright Brothers Aëroplane” [2]
• Ce texte sera repris par le Figaro des 24 et 26 novembre 1908, dans une traduction du commandant Ferrus. Cette même traduction est reproduite p. 653 dans l’ouvrage « Les oiseaux artificiels » de François Peyrey : [3]
• On note dans : A Reissue of A Chronology Commemorating the Hundredth Anniversary of the BIRTH OF ORVILLE WRIGHT, AUGUST 19, 1871, by Arthur George Renstrom
  "Though it appears under joint authorship, the article was entirely the work of Orville." [4]

Ajout effectué dans l'article Orville et Wilbur Wright fin juin et début juillet 21

Notes : caractère « ℓ » ("Script Small L")

Pour accentuer des caractères dans une formule en TeX il faut coder, par exemple : \acute e \grave e . Ce qui donne : ${\acute {e}}{\grave {e}}$ Ceci permet d'écrire, par exemple : $C_{xSph{\grave {e}}re}$ (mais l'accent se place trop haut ! )

Autre méthode, faire précéder le caractère accentué (placé entre { } par \text avec une espace :

Le code  :

C_{x Sph \text{è} re}

donne ainsi :

$C_{xSph{\text{è}}re}$

Ce qui m'a semblé un instant parfait. Mais en fait,la position en hauteur du caractère accentué semble variable (du moins dans une note sur une image des Commons.

Le code :

C_{x \text {Sphère} }

$C_{x{\text{Sphère}}}$

...donne le même résultat un peu aléatoire.

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Bibliographie

• Planète Sciences, LE VOL DE LA FUSÉE : Stabilité et Trajectographie, Version 2.0 - juillet 2008, Planète-Sciences, CNES, 2008 (lire en ligne)
• S. F. Hoerner, Résistance à l'avancement dans les fluides, Paris, Gauthier-Villars, 1965 (OCLC 727875556, ASIN B07B4HR4HP).
• (en) S. F. Hoerner, Fluid-dynamic drag : theoretical, experimental and statistical information, 1992 (OCLC 228216619).
• (en) S. F. Hoerner and H. V. Borst, Fluid-Dynamic Lift, practical information on Aerodynamic and hydrodynamic lift, Liselotte A. Hoerner ed., 1985 ([5]).
• Planète Sciences, Le vol de la fusée : Stabilité et Trajectographie, Version 2.0 - juillet 2008, Planète-Sciences, CNES, 2008 (lire en ligne)
• (en) George P Sutton et Oscar Biblarz, Rocket Propulsion Elements 7^e édition, Lalit Printer & Binder, Delhi, Wiley India, 2013, 751 p. (ISBN 978-81-265-2577-5, lire en ligne)
• (en) Hill et Peterson, MECHANICS AND THERMODYNAMICS OF PROPULSION, ADDISON - WESLEY PUBLISHING COMPANY, INC., 1965, 563 p. (lire en ligne)