Utilisateur:Apach/Bifurcation

En théorie des systèmes dynamiques, une bifurcation est un changement qualitatif de comportement du système suite à une variation, aussi petite soit elle, d'un ou plusieurs paramètres. Leur étude mathématique a pour objectif de les caractériser au moyen de propriétés géométriques simples, indépendamment des détails propres à chaque système. On appelle propriété qualitative d'un système dynamique sa stationnarité, sa périodicité, ou plus généralement son confinement dans une sous-variété de l'espace des phases de petite dimension. En pratique, on cherche à décrire les frontières dans l'espace des paramètres séparant les régions aux comportements qualitativements différents. Ces frontières peuvent être des objets très compliqués lorsque le système s'approche d'un comportement chaotique. Lorsqu'on décrit une bifurcation, il est d'usage de se donner un chemin dans l'espace des paramètres et d'interpréter de façon cinématique les modifications dans l'espace des phases. Ainsi, on dira que les points d'équilibre se déplacent, s'échappent à l'infini ou que deux orbites périodiques entrent en "collision".

Types de bifurcations

Une bifurcation pouvant être décrite au moyen des propriétés du système au voisinnage de ses points d'équilibre est dite locale. Dans le cas d'un système dynamique continu, les quantités importantes sont les différentielles successives du flot aux points d'équilibre. Les autres bifurcations, plus difficiles à décrire en toute généralité, sont dites globales.

Birurcations globales

Les bifurcations globales font intervenir des ensembles invariants plus gros que des points d'équilibre. On peut les décrire entièrement lorsque l'espace des phases a deux dimensions, ou plus généralement lorsque les ensembles invariants concernés sont des chemins.

• bifurcation homoclinique
• bifurcation hétéroclinique
• bifurcation