Trapézoèdre trigonal
Le trapézoèdre trigonal ou rhomboèdre isoédrique est le premier de la série des trapézoèdres, polyèdres à faces isométriques entre elles, duaux des antiprismes. Il possède six faces isométriques en losanges. Il est le résultat de la déformation du cube dans la direction d'une grande diagonale.
Faces | Arêtes | Sommets |
---|---|---|
6 losanges | 12 | 8 |
Type | Trapézoèdre |
---|---|
Caractéristique | 2 |
Propriétés | convexe, isoédrique |
Groupe de symétrie | D3d |
Dual | antiprisme trigonal |
C'est un cas particulier de rhomboèdre (parallélépipède à faces losanges qui peuvent être de trois formes différentes) lorsque les faces sont isométriques. Le cube en est un cas particulier lorsque les faces sont carrées.
Caractérisation et propriétés
modifier-
Le trapézoèdre trigonal
-
et sa grande diagonale
Le trapézoèdre trigonal possède deux sommets où les trois angles des losanges y arrivant sont égaux, nommés dans la figure ci-dessus. Les angles à chacun des six autres sommets sont et deux fois .
On peut caractériser le rhomboèdre, à isométrie près, par la longueur d'arête et l'angle , qui doit être strictement compris entre 0 et .
La diagonale joignant les deux sommets mentionnés ci-dessus, de longueur est dite « grande diagonale » ; les trois autres sont de longueur .
Le volume est[1] :
Le trapézoèdre trigonal présente un axe de symétrie ternaire (rotation d'ordre 3 - angle de 120°) dans la direction de sa plus grande diagonale. Vu dans cette direction :
- les trois arêtes qui partent du sommet le plus proche, projetées dans un plan perpendiculaire à la diagonale, forment entre elles un angle de 120° ;
- les 6 sommets qui n'appartiennent pas à la grande diagonale forment 2 triangles équilatéraux, situés respectivement dans 2 plans parallèles et perpendiculaires à la grande diagonale ; ces plans coupent cette diagonale aux 1/3 et 2/3 de sa hauteur.
Exemples
modifierUn losange d'angle aigu et d'angle obtus donne naissance à un trapézoèdre trigonal ayant ce losange pour faces en réunissant trois angles aigus en un même sommet, et à un deuxième trapézoèdre en réunissant trois angles obtus en un même sommet. Ce deuxième trapézoèdre n'existe que si , soit .
C'est le cas, par exemple du losange d'or, qui a pour angles et , qui donne naissance à deux trapézoèdres trigonaux appelés rhomboèdres d'or[2].
-
Rhomboèdre d'or aigu
-
Rhomboèdre d'or obtus
Références
modifier- ↑ (en) James Foadi et Gwyndaf Evans, « On the allowed values for the triclinic unit-cell angles », Acta Cryst., vol. A67, , p. 93-95 (DOI 10.1107/S0108767310044296, lire en ligne).
- ↑ (en) Eric Weisstein, « Golden rhombohedron », sur Mathworld
Voir aussi
modifier- L'hexacontaèdre rhombique, qui se décompose en 20 rhomboèdres d'or.