Ouvrir le menu principal

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, la transformation d’Aluthge est une opération définie sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert ; c'est un outil important pour étudier certaines classes d'opérateurs linéaires.

Soit un espace de Hilbert. On note l'algèbre des opérateurs linéaires continus de dans lui-même.

Théorème de la décomposition polaireModifier

Soient  ,   son opérateur adjoint et   la racine carrée de l'opérateur  . Il existe une unique isométrie partielle   telle que   et  .

DéfinitionModifier

Soient   et   sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de   est l'opérateur   défini par :

 .

Plus généralement, pour tout nombre réel  , on appelle  -transformation d'Aluthge de   l'opérateur  .

ExempleModifier

Pour deux vecteurs  , on note   l'opérateur défini par :  . Un calcul élémentaire[1] montre que si   alors  .

Notes et référencesModifier

  1. (en) Fadil Chabbabi et Mostafa Mbekhta, « Jordan product maps commuting with the λ-Aluthge transform », J. Math. Anal. Appl., vol. 450, no 1,‎ , p. 293-313 (DOI 10.1016/j.jmaa.2017.01.036) ; (en) Fadil Chabbabi, « Product commuting maps with the λ-Aluthge transform », sur HAL,‎ , prop. 2.1.

Lien externeModifier