Sommation par parties

Théorème de transformation d'une série, analogue discrète de l'intégration par parties
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La sommation par parties est aux séries ce que l'intégration par parties est aux fonctions. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

ÉnoncéModifier

Soient deux suites   et  . Pour tous entiers naturels   et  , on définit

 

Alors[1] :

 .

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de  .

Similitude avec l'intégration par partiesModifier

La formule d'intégration par parties s'écrit :

 

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (  devient  ) et à dériver l'autre (  devient  ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée (  devient  ) et l'autre est différenciée (  devient  ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

ApplicationsModifier

Critère d'Abel[1], dit aussi règle d'Abel ou théorème d'Abel[2] — Si la suite   tend vers 0 et la suite   est bornée, et si la série   est absolument convergente, alors la série   est convergente.

La preuve montre de plus l'inégalité :

 ,

pour tout majorant M des |Bn|.

Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »[3] :

Si la suite   est monotone et de limite nulle et si la suite   est bornée, alors la série   est convergente.

Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si   est décroissante et de limite nulle, alors la série   est convergente.

ExemplesModifier

  1. La suite   est monotone et de limite nulle et la série   a ses sommes partielles bornées car  [4] donc (d'après le test de Dirichlet) la série   converge.
  2. De même[5], pour tout nombre complexe   de module  , la série du logarithme complexe   converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.

Notes et référencesModifier

  1. a et b Pour une démonstration, voir par exemple la section « Critère d'Abel » dans le cours de Wikiversité sur les séries.
  2. À ne pas confondre avec d'autres théorèmes du même nom  .
  3. « Théorème d'Abel », Université en ligne.
  4. Pour un calcul de   pour tout réel  , voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  5. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

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Article connexeModifier

Formule sommatoire d'Abel

Lien externeModifier

Article de Niels Henrik Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur Bibnum