Transformation bilinéaire

La transformation bilinéaire est une méthode de traitement numérique du signal pour la conception de filtres numériques calqués sur des filtres analogiques. Elle permet le passage d'une représentation continue à une représentation discrète des filtres.

La transformation bilinéaire est un cas particulier de transformation de Möbius. L'image de la droite imaginaire ($i\omega$) est le cercle unité dans le plan complexe. Cette propriété permet de passer de la variable $p$ de la transformée de Laplace (la transformée de Fourier est obtenue en prenant $Re[p]=0\$) à la variable $z$ de la transformée en Z (la transformée de Fourier est obtenue en prenant $|z|=1$).

Définition

La méthode de la transformation bilinéaire est d'appliquer la substitution $p\leftarrow k{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$ dans la transformée de Laplace $H_{a}(p)$ d'un filtre analogique. On obtient l'expression de la transformée en Z d'un filtre discret $H_{d}(z)$

$H_{d}(z)=H_{a}\left(k{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\right)$

Propriétés

• L'image du semi-plan complexe gauche ($Re(p)<0$) par la transformation bilinéaire est le disque unité. La conséquence de cette propriété est que la transformation bilinéaire préserve la stabilité d'un filtre.

• Chaque point $p=i\omega _{a}$ de l'axe imaginaire a pour image le point $z=e^{i\omega T}$, où les pulsations $\omega _{a}$ et $\omega$ sont reliées par $\omega _{a}=k\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)$. L'égalité entre $\omega$ et $\omega _{a}$ dans l'approximation des faibles pulsations ($\omega \ll 1/T$) est obtenue pour $k={\frac {2}{T}}$ ($T$ est le temps entre chaque échantillon).

• Lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $]-{\frac {\pi }{T}},+{\frac {\pi }{T}}[$, $\omega _{a}$ décrit l'intervalle $]-\infty ,+\infty [$.

• Le filtre obtenu par la méthode de la transformation bilinéaire a les mêmes propriétés que le filtre analogique (même réponse en gain, même réponse en phase), avec toutefois une contraction de l'axe fréquentiel. La distorsion de l'échelle des fréquences est d'autant plus forte que l'on s'approche de la fréquence de Nyquist.

Limite discret - continu

La méthode de la transformation bilinéaire correspond au développement suivant lorsque $T$ le temps de discrétisation converge vers 0 :

${\begin{aligned}z&=e^{pT}\\&={\frac {e^{pT/2}}{e^{-pT/2}}}\\&\approx {\frac {1+pT/2}{1-pT/2}}\end{aligned}}$

dont l'inverse est

${\begin{aligned}p&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}$

Le passage du discret au continu est d'utiliser la méthode des trapèzes avec ce développement pour l'intégrale dans l'expression de la transformée de Laplace.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bilinear transform » (voir la liste des auteurs).