Théorie de la percolation

théorie mathématique

La théorie de la percolation est une branche de la physique statistique et mathématique qui s'intéresse aux caractéristiques des milieux aléatoires, plus précisément aux ensembles de sommets connectés dans un graphe aléatoire. Cette théorie s'applique notamment en science des matériaux pour formaliser les propriétés d'écoulement dans les milieux poreux et pour la modélisation de phénomènes naturels, comme les incendies.

Le modèle mathématique de la percolation a été introduit par John Hammersley (en) en 1957[1], et tente de répondre à la question informelle suivante : imaginons que l'on place de l'eau dans un creux au sommet d'un matériau poreux. Quelles sont les probabilités qu'il y ait assez de canaux communiquant entre eux pour que cette eau réussisse à atteindre la base de la pierre  ?

Différents types de percolation.

Description du modèle de baseModifier

Soit   un paramètre compris entre   et  . Deux points (ou sommets) à distance euclidienne   du réseau  -dimensionnel   (deux tels points sont dits voisins) sont alors reliés avec probabilité   par une arête. Le résultat est un graphe aléatoire infini.

La probabilité de percolation de ce graphe, notée   est la probabilité que la composante connexe contenant l'origine soit de taille infinie.

Par des arguments de couplage, on montre que   est une fonction croissante de  . On montre également qu'il existe un point critique   tel que   est nulle si   et strictement positive si  . Harry Kesten a montré qu'en dimension  ,  .

Les différents régimesModifier

Le régime sous-critique  Modifier

Dans ce régime, il n'y a pas de chemin infini dans le graphe. Les composantes connexes (appelé aussi amas) finies sont généralement de petite taille. Plus précisément la probabilité que l'amas contenant le point   ait une taille qui dépasse   décroît exponentiellement vite avec  . En particulier, la taille moyenne d'un amas est finie.

Le régime critique  Modifier

Le régime est encore mal connu (à l'exception notable de la dimension 2). On conjecture que  , c’est-à-dire qu'il n'y a pas de percolation au point critique, mais ceci n'est pour l'instant démontré qu'en dimension deux ou en grande dimension  . En particulier, le cas de la dimension trois, dont la pertinence physique est évidente, demeure non prouvé.

Le régime sur-critique  Modifier

Dans la phase surcritique, il y a une unique composante infinie de points connectés. En outre, les amas finis sont généralement de petite taille. L'amas infini rencontre tout l'espace; plus précisément la proportion de points d'une boîte de taille   qui appartiennent à l'amas infini tend vers   lorsque   tend vers l'infini. On sait aussi que l'amas infini est très rugueux : la proportion des points d'une boîte de taille   qui sont à la frontière de l'amas infini parmi la totalité des points de l'amas infini qui sont dans cette boîte tend vers   lorsque   tend vers l'infini.

Autres modèlesModifier

  • Le modèle continu : la théorie de la percolation s'étend aux milieux continus, comme les schémas booléens de sphères. Si les seuils de percolation sont différents de ceux observés dans les réseaux, les exposants critiques appartiennent à la même classe d'universalité que dans les réseaux.
  • La percolation orientée qui a des liens avec le processus de contact
  • La percolation FK qui permet de relier la percolation au modèle d'Ising et au modèle de Potts.
  • La percolation de premier passage
  • La percolation de dernier passage généralisée qui est un modèle de croissance dans le quart de plan discret avec pour paramètre une suite de lois de probabilités  .

Applications pratiques des théories de percolationModifier

En physiqueModifier

D'une manière générale, les exposants critiques observés pour les champs (expérimentalement ou à l'aide de modèles, par exemple dans les problèmes de conductivité, de mécanique et de permittivité) sont différents des exposants géométriques. Ces phénomènes traduisent l'effet de corrélations des champs dues aux interactions physiques (ou du point de vue mathématique, aux équations différentielles associées). En particulier, les exposants sont distincts dans les réseaux et dans les milieux continus, à travers l'existence de distances infiniment faibles entre interfaces, qui ne peuvent être limitées par la taille des liens[2].

On distingue en général deux types de percolation, soit de premier et de second ordre. Le premier cas regroupe les transitions de champs continues qui se rencontrent en particulier dans les cas où le potentiel d'énergie possède un unique minimum. Au contraire, lorsque plusieurs minima locaux se développent, une transition discontinue peut apparaître. Ces phénomènes ne peuvent avoir lieu en théorie de la percolation standard.

Modélisation de phénomène naturelsModifier

IncendiesModifier

Une des applications de la théorie de la percolation est l'étude des feux de forêts (et de façon proche la propagation des épidémies[3]).

Dans ce modèle, les arbres sont les sommets du graphe, et une arête représente le fait que deux arbres ont le même état : si l'un a été touché par le feu (ou infecté), alors l'autre aussi. La question est alors de savoir si le feu reste localisé ou s'il s'étend à une grande partie de la forêt. Cette modélisation ne prend pas en compte le temps et suppose que tous les arbres sont identiques[4].

MigrationsModifier

L'écologie du paysage s'intéresse à la capacité des espèces et des individus à se déplacer dans l'espace, ce qui nécessite de mesurer la connectivité écologique qui traduit la connectivité fonctionnelle entre habitats naturels ou semi-naturels, et des taux de migration (ou de dispersion), associés à des comportements complexes et aux aléas climatiques. une grande part des migrations se faisant de plus, de nuit. Ceci nécessite des méthodes souvent très coûteuses et délicates, comme le radio-pistage, la détection et/ou photographie automatique, les pièges à traces, ou les méthodes de capture-marquage-recapture.

La théorie de la percolation est alors un des outils théoriques testés pour l'étude et la modélisation de la capacité d'individus et de population à migrer (en flux) entre les grains ou taches du paysage, ce dernier étant en quelque sorte comparé à un milieu poreux dans lequel chaque espèce circule plus ou moins facilement. En d'autres termes, la percolation permet ici d'évaluer le rapport entre le réflexe migratoire des espèces et la disposition plus ou moins permissive d'un milieu naturel quelconque.

ÉconomieModifier

La théorie de la percolation qui étudie les systèmes hétérogènes et désordonnés fournit une approche complémentaire en économie[5]. Elle permet d'étudier la propagation d'une information (technologie, prix, comportement, opinion, etc.) sur une structure aléatoire et hétérogène où un ensemble d'éléments (agents, entreprises, etc.) forme un réseau.

Parmi les sujets d'applications de la percolation en économie, on peut citer les réseaux d'organisations, les marchés boursiers, les territoires, l'intégration de marché, la dominance d'une technologie ou d'une convention, etc.

Autres phénomènes de percolationModifier

On trouve des exemples de changement d'état ou de phase à partir d'un certain seuil dans de nombreux domaines, tant humains et sociaux (Pôle de développement) que physiques (Fission nucléaire).

Notes et référencesModifier

  1. (en) S. R. Broadbent et J. M. Hammersley, « Percolation processes: I. Crystals and mazes », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 53, no 3,‎ 1957-07-xx, p. 629–641 (ISSN 0305-0041 et 1469-8064, DOI 10.1017/S0305004100032680, lire en ligne, consulté le 9 avril 2021)
  2. Application of Percolation Theory, Taylor and Francis, Muhammad Sahimi.
  3. Article La percolation, un jeu de pavages aléatoires de Hugo Duminil-Copin pour Images des Maths et Pour la science.
  4. Cette partie est inspirée de Théret 2013
  5. « Percolation et économie », sur percolation.free.fr (consulté le 18 octobre 2020)

Voir aussiModifier

Livres de référencesModifier

VulgarisationModifier

  • Marie Théret, « Internet, feux de forêt et porosité : trouver le point commun », dans Mathématiques, l'explosion continue, FSMP, SFS, SMF, SMAI, , p. 57-62

Articles connexesModifier

Liens externesModifier