Théorème japonais de Carnot

Le théorème japonais de Carnot est un théorème de géométrie euclidienne dû à Lazare Nicolas Marguerite Carnot, portant sur une égalité algébrique de distances dans une construction faisant appel au cercle inscrit et au cercle circonscrit à un triangle.

Histoire

En 1800, un samouraï anonyme accrochait au mur d'un temple une tablette de bois sur laquelle était gravé un sangaku, problème de géométrie dédié à une divinité (un kami) et proposé à la sagacité des fidèles. En 1803, Carnot publiait sa Géométrie de position. Hasard de l'Histoire, un théorème de cet ouvrage permet de résoudre élégamment le sangaku précité.

Énoncé

Théorème de Carnot. — Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre D et de rayon R. La somme des distances « signées » du centre D aux côtés du triangle est donnée par :

${\overline {FD}}+{\overline {GD}}+{\overline {HD}}=R+r$

où r est le rayon du cercle inscrit au triangle et F, G, H les projetés orthogonaux de D respectivement sur les côtés [AC], [AB] et [BC].

Démonstration .

Triangle obtusangle	Triangle acutangle
$\scriptstyle |{\overline {GD}}|+|{\overline {HD}}|-|{\overline {FD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {EI}}|=R+r$	$\scriptstyle |{\overline {GD}}|+|{\overline {HD}}|+|{\overline {FD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {EI}}|=R+r$

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Théorème de Carnot » (voir la liste des auteurs).