Théorème ergodique

Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.

Théorème ergodique de BirkhoffModifier

Soit :

  •   un espace mesuré borné.
  • T : X→X une transformation mesurable préservant la mesure   (c'est-à-dire que pour tout ensemble mesurable A de  , on a  ).

Alors :

  • Pour toute fonction   de L1(X,μ), la suite   converge μ-presque partout.
  • De plus, en notant (lorsqu'elle existe),  , on a :
    •  ,  -presque partout.
    •   (  est donc dans  ).
    • La suite de fonctions   converge dans L1(X,μ) vers  .
    • Pour tout ensemble mesurable A tel que  , on a : .

CorollaireModifier

Avec les mêmes hypothèses et en supposant en plus que   soit μ-ergodique, on a :

  pour μ-presque tout  .

RemarquesModifier

  • La somme   s'appelle une moyenne de Birkhoff de  .
  • La limite   lorsqu'elle existe s'appelle la moyenne orbitale (ou temporelle) de  .
  • L'intégrale   est la moyenne spatiale de  .

Ainsi, le théorème dit que si   est une mesure de probabilité pour laquelle   est ergodique, presque toutes les moyennes temporelles d'une fonction intégrable coïncident avec sa moyenne spatiale.

Quelques applications simplesModifier

Exemple 1

Soit B un ensemble mesurable non négligeable (μ(B)>0). Si T est μ-ergodique, alors pour presque tout   de  , on a :

 

La proportion de temps que l'orbite de x passe dans B est précisément μ(B)/μ(X).

Exemple 2

Pour presque tout réel   de l'intervalle  , le nombre moyen de zéros dans l'écriture décimale de   (c'est-à-dire que    est le chiffre des dixièmes de  ,   le chiffre des centièmes de  , etc.) est égale à  .

Théorème ergodique de von NeumannModifier

Soient   un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert  , ou plus généralement une isométrie linéaire (non nécessairement surjective) et   la projection orthogonale sur le sous-espace des vecteurs fixes par  . Alors, pour tout vecteur   de  , on a[1] :

 

où la limite est au sens de la topologie de la norme sur  . Autrement dit, la suite des moyennes  converge vers   pour la topologie forte des opérateurs (en).

Ce théorème s'applique en particulier au cas où l'espace de Hilbert   est l'espace L2 d'un espace mesuré   et où   est un opérateur de la forme  , pour un certain endomorphisme   de   qui préserve la mesure, et qui peut être vu comme le changement d'état d'un système dynamique à temps discret[2]. Le théorème ergodique dit alors que la moyenne d'une fonction   sur un intervalle de temps assez grand est approchée par la projection orthogonale de   sur les fonctions qui restent constantes au cours du temps.

Une autre formulation de ce théorème ergodique est que si   est un groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs unitaires sur  , alors l'opérateur

 

converge (pour la topologie forte des opérateurs) quand   tend vers l'infini. En fait, ce résultat s'étend à un demi-groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs non expansifs sur un espace réflexif.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ergodic theory » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) M. Reed (en) et B. Simon, Functional Analysis, San Diego, Academic Press, 1980 (ISBN 978-0-12585050-6)
  2. (en) Peter Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, New York, 1982 (ISBN 0-387-95152-0)

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) George D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, Proc. NAS 17 (1931), 656-660