Théorème du sandwich au jambon

En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon, ou théorème de Stone-Tukey, s'exprime, de façon imagée, comme la possibilité de couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich[1]. Il se formalise et se généralise en dimension quelconque.

Le théorème du sandwich au jambon affirme l'existence d'un plan qui coupe chacun des trois solides en deux parties de volumes égaux.

ÉnoncéModifier

Étant donné n parties[2] Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales[1].

HistoriqueModifier

Le théorème est parfois appelé théorème de Stone-Tukey, d'après Arthur Stone et John Tukey[3]. Hugo Steinhaus avait conjecturé ce théorème dans le Livre écossais. Il a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam[4].

DémonstrationModifier

Soient   les n parties de  , de mesures finies  , que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve avec, pour  , des solides de Platon en orange et rouge, la solution est ici le plan défini par les trois centres).

Ayant fixé un vecteur   de la sphère  , on considère, pour tout réel  , l'hyperplan affine orthogonal à   passant par  , et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant  . Le volume   de l'intersection de   et de ce demi-espace est une fonction continue de   et vérifie :

 

Comme de plus   est une fonction décroissante de  , qui tend vers 0 quand   tend vers   et vers   quand   tend vers  , l'ensemble des réels   tels que   est un segment non vide   qui vérifie  . Son milieu   est donc une fonction continue impaire de   vérifiant   pour toute direction  .

Par composition, la fonction

 

est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction   telle que  . Pour un tel  , l'hyperplan orthogonal à   et passant par   coupe les   pour   en deux morceaux de même mesure car

 

Ainsi,   est vrai pour   par choix de   et pour   par définition de  .

Notes et référencesModifier

  1. a et b (en) Jiří Matoušek, Using the Borsuk-Ulam Theorem : Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, , 196 p. (ISBN 978-3-540-00362-5, lire en ligne), p. 47.
  2. Les n parties ne sont pas supposées connexes : dans le sandwich, les deux tranches de pain constituent une partie.
  3. (en) A. H. Stone et J. W. Tukey, « Generalized “sandwich” theorems », Duke Mathematical Journal, vol. 9, no 2,‎ , p. 356-359 (DOI 10.1215/S0012-7094-42-00925-6).
  4. (en) W. A. Beyer et Andrew Zardecki, « The early history of the ham sandwich theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 111,‎ , p. 58-61 (JSTOR 4145019, lire en ligne).

Lien externeModifier

(en) Ham sandwich theorem and a proof, sur PlanetMath