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Théorème des deux lunules

Les lunules sont en bleu.

Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane.

Sommaire

HistoireModifier

Ce théorème, très ancien, a été démontré par Hippocrate de Chios (–470 - –410)[1], qui étudia aussi la duplication du cube, c'est-à-dire le calcul de la racine cubique de 2. Les deux lunules sont aussi appelées lunules d'Hippocrate. Il recherchait alors la quadrature du cercle et pensait que la quadrature de ses lunules allait le rapprocher du but[2].

DéfinitionModifier

Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un ménisque en forme de croissant de lune : convexe d'un côté et concave de l'autre.

ÉnoncéModifier

Soit le triangle ABC rectangle en B et   le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).

La lunule   est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par  .

La lunule   est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par  .

Alors la somme des aires de   et de   (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

DémonstrationModifier

Soit un triangle ABC rectangle en B.

Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc  

Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc

 

Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que  , c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.

Or le théorème de Pythagore nous dit que

 

Donc en multipliant par   on a

 

ce qui est l'égalité des aires recherchée.

Notes et référencesModifier

  1. Ne pas le confondre avec Hippocrate de Cos, le médecin.
  2. Jean-Étienne Montucla, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, 1754, chap. II, sections IV et V.

Articles connexesModifier